Chìa khoá là tính đơn điệu
Để giải bất phương trình mũ hay logarit, ta không nhìn vào con số mà nhìn vào chiều tăng giảm của hàm số. Hàm y = aˣ với a > 1 luôn đồng biến (đi lên), còn với 0 < a < 1 luôn nghịch biến (đi xuống). Chính dấu của độ dốc quyết định việc giữ hay đổi chiều bất đẳng thức.
Giải bất phương trình mũ aˣ > m
Nếu m ≤ 0 thì aˣ > m đúng với mọi x, vì aˣ luôn dương. Nếu m > 0 ta lấy logarit cơ số a hai vế. Khi a > 1 hàm tăng nên logₐ giữ chiều: nghiệm là x > logₐm. Khi 0 < a < 1 hàm giảm nên logₐ đổi chiều: nghiệm là x < logₐm.
Giải bất phương trình logarit logₐx > m
Điều kiện xác định luôn là x > 0. Nâng cả hai vế thành số mũ của a. Khi a > 1 giữ chiều: nghiệm là x > aᵐ. Khi 0 < a < 1 đổi chiều: nghiệm là 0 < x < aᵐ. Tóm lại: cơ số lớn hơn 1 thì so sánh thuận, cơ số nhỏ hơn 1 thì đảo chiều.
Các bước làm bài
Một mẹo nhớ nhanh: hãy hình dung đồ thị. Với hàm mũ y = aˣ hay hàm logarit y = logₐx, khi cơ số a > 1 đồ thị đi lên từ trái sang phải, còn khi 0 < a < 1 đồ thị đi xuống. Bất phương trình chính là câu hỏi phần đồ thị nào nằm phía trên đường y = m; đọc miền x tương ứng trên trục hoành là ra tập nghiệm. Chính vì đồ thị đổi hướng dốc khi cơ số qua mốc 1 mà bất đẳng thức phải đổi chiều theo.
- Đặt điều kiện: với logarit cần biểu thức trong log dương.
- Đưa về cùng cơ số a rồi so sánh số mũ (hoặc đối số của log).
- Xét cơ số: a > 1 giữ chiều; 0 < a < 1 đổi chiều bất đẳng thức.
- Kết hợp điều kiện và ghi tập nghiệm cuối cùng.
Ứng dụng thực tế
Bất phương trình mũ, logarit dùng để trả lời câu hỏi bao giờ vượt ngưỡng:
- 💰 Sau bao nhiêu năm khoản tiền gửi lãi kép vượt mục tiêu?
- ☢️ Khi nào lượng chất phóng xạ còn dưới ngưỡng an toàn?
- 🦠 Số ca bệnh còn dưới mức báo động trong khoảng thời gian nào?
- 📶 Cường độ tín hiệu (đo bằng dB) đạt yêu cầu ở khoảng cách nào?