Biến cố đối là gì?
Với một biến cố A trong phép thử, biến cố đối của A, ký hiệu Ā, là biến cố "A không xảy ra". Trong không gian mẫu Ω, biến cố Ā chính là phần bù của A: mọi kết quả không thuộc A đều thuộc Ā. Ví dụ, nếu A là "gieo con xúc xắc được mặt 6" thì Ā là "được mặt khác 6". A và Ā không thể cùng xảy ra, và luôn có đúng một trong hai xảy ra.
Công thức P(Ā) = 1 − P(A)
Vì A và Ā không giao nhau (xung khắc) và hợp của chúng lấp đầy toàn bộ không gian mẫu, nên tổng xác suất của chúng bằng xác suất của cả Ω, tức bằng 1: P(A) + P(Ā) = 1. Từ đó suy ra P(Ā) = 1 − P(A). Trên hình, toàn bộ hình chữ nhật có diện tích 1 (đại diện cho xác suất chắc chắn); vùng A và vùng bù luôn ghép lại đầy đủ, minh hoạ trực tiếp cho công thức này.
Mẹo "ít nhất một"
Nhiều bài toán hỏi xác suất "có ít nhất một" đối tượng thỏa điều kiện. Tính trực tiếp phải cộng các trường hợp có một, hai, ba... rất dài. Nhưng biến cố "ít nhất một" chính là biến cố đối của "không có cái nào", nên P(ít nhất một) = 1 − P(không có cái nào). Chẳng hạn tung 3 đồng xu, xác suất được ít nhất một mặt ngửa là 1 − (1/2)³ = 1 − 1/8 = 7/8. Chọn phần bù giúp lời giải ngắn gọn hơn hẳn.
Ứng dụng thực tế
Biến cố đối được dùng khi:
- 🎲 Tính xác suất "ít nhất một" trong xúc xắc, đồng xu, rút thẻ.
- 🔧 Ước tính độ tin cậy hệ thống: xác suất ít nhất một bộ phận hỏng.
- 🎯 Bài toán "trúng ít nhất một lần" khi bắn hoặc thử nhiều lần.
- 🩺 Xác suất một xét nghiệm cho ít nhất một kết quả dương tính.