Bốn phép biến đổi căn thức
Để tính toán và so sánh biểu thức chứa căn bậc hai dễ hơn, ta thường biến đổi chúng về dạng gọn hơn. Bốn phép cơ bản là: đưa thừa số ra ngoài, đưa thừa số vào trong, khử mẫu của biểu thức lấy căn, và trục căn thức ở mẫu. Tất cả đều dựa trên một tính chất nền tảng: với hai số không âm, √(m·n) = √m · √n và √(m/n) = √m / √n. Nhờ đó ta được phép tách hay gộp các thừa số dưới dấu căn một cách hợp lệ, miễn là chú ý điều kiện để biểu thức dưới căn không âm.
Đưa thừa số ra / vào dấu căn
- Ra ngoài: tách số dưới căn thành bình phương × phần còn lại, rồi √(a²·b) = |a|·√b. Ví dụ √50 = √(25·2) = 5√2.
- Vào trong: ngược lại, a√b = √(a²·b) khi a ≥ 0. Ví dụ 3√2 = √(9·2) = √18. Nếu a < 0 thì a√b = −√(a²·b).
- Với biến, luôn dùng giá trị tuyệt đối: √(a²) = |a|, không phải a.
Khử mẫu & trục căn thức ở mẫu
Khử mẫu của biểu thức lấy căn: đưa mẫu dưới căn thành bình phương bằng cách nhân tử và mẫu cho mẫu đó, ví dụ √(2/3) = √(2·3)/3 = √6 / 3. Trục căn thức ở mẫu: làm mẫu không còn dấu căn — với mẫu √b nhân cả tử mẫu cho √b (a/√b = a√b/b); với mẫu √a ± √b nhân với biểu thức liên hợp √a ∓ √b.
Một ví dụ đầy đủ
Hãy rút gọn biểu thức √50 + 3√2 − √8. Trước hết đưa thừa số ra ngoài từng căn: √50 = 5√2 và √8 = 2√2, còn 3√2 giữ nguyên. Khi đó cả ba số hạng đều là bội của √2 nên chúng đồng dạng và cộng trừ được: 5√2 + 3√2 − 2√2 = (5 + 3 − 2)√2 = 6√2. Nếu không biến đổi trước, ta không thể cộng trực tiếp √50, √2 và √8 vì chúng trông khác nhau. Đó chính là lí do các phép biến đổi căn thức lại quan trọng: chúng đưa những căn thức tưởng chừng khác biệt về cùng một dạng để tính toán gọn gàng.
Vì sao cần biến đổi?
Biến đổi căn thức giúp ta:
- ➕ Cộng trừ các căn đồng dạng: 5√2 + √2 = 6√2.
- ⚖️ So sánh nhanh: √50 và 7 → 5√2 ≈ 7,07 > 7.
- 🧮 Tính giá trị gần đúng và rút gọn biểu thức phức tạp.
- 📐 Chuẩn hoá đáp số trong hình học và lượng giác.