Bất phương trình bậc hai một ẩn là gì?
Một bất phương trình bậc hai một ẩn có dạng ax² + bx + c > 0 (hoặc < 0, ≥ 0, ≤ 0) với a ≠ 0. Giải nó nghĩa là tìm tất cả các giá trị của x làm cho tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c thỏa mãn chiều đã cho. Chìa khóa là biết được dấu của f(x) trên từng khoảng.
Suy miền nghiệm từ đồ thị
Đồ thị của f(x) là một parabol. Hai điều quyết định dấu: bề lõm (dấu a) và việc parabol có cắt trục Ox hay không (dấu Δ = b² − 4ac).
- Δ > 0: parabol cắt Ox tại hai nghiệm x₁ < x₂. Trong khoảng (x₁; x₂), f(x) trái dấu a; ngoài khoảng đó f(x) cùng dấu a.
- Δ = 0: parabol tiếp xúc Ox tại x₀ = −b/2a. Với mọi x ≠ x₀, f(x) cùng dấu a; tại x₀ thì f(x) = 0.
- Δ < 0: parabol không cắt Ox. Với mọi x, f(x) cùng dấu a — bất phương trình hoặc vô nghiệm hoặc đúng với mọi x.
- Tô trục số: chọn khoảng có dấu khớp chiều bất phương trình; dùng dấu ngoặc mở khi >, < và ngoặc đóng khi ≥, ≤.
Khi nào tam thức luôn cùng dấu với a?
Khi Δ < 0, parabol nằm hẳn một phía so với trục Ox nên f(x) không đổi dấu và luôn cùng dấu với a với mọi x. Đây là mẹo giải nhanh: nếu a > 0 và Δ < 0 thì f(x) > 0 luôn đúng, còn f(x) < 0 vô nghiệm.
Ứng dụng thực tế
Bất phương trình bậc hai xuất hiện khi:
- 🚀 Tìm khoảng thời gian vật ném lên còn ở trên một độ cao.
- 💰 Tìm mức sản lượng để lợi nhuận (một hàm bậc hai) dương.
- 📐 Xét điều kiện có nghiệm, điều kiện xác định của biểu thức chứa căn.
- 📊 Ràng buộc miền giá trị trong bài toán tối ưu.