Căn bậc ba là gì?
Căn bậc ba của số a, kí hiệu ∛a, là số x sao cho x³ = a. Hình học hoá: ∛a chính là độ dài cạnh của khối lập phương có thể tích a. Ví dụ ∛27 = 3 vì một khối lập phương cạnh 3 có thể tích 3 × 3 × 3 = 27.
Các bước hiểu qua khối lập phương
- Chọn thể tích a của khối lập phương bằng thanh kéo.
- Khối phồng lên hoặc co lại để thể tích luôn bằng a.
- Đo cạnh của khối: đó chính là ∛a.
- Kiểm tra ngược: lập phương cạnh, tức (∛a)³, phải bằng a.
Vì sao xác định với mọi a (kể cả a âm)?
Khác với căn bậc hai, căn bậc ba xác định với mọi số thực. Lí do: khi nâng lên lũy thừa ba, số âm mũ ba vẫn âm (âm × âm × âm = âm). Nên mỗi số âm cũng có đúng một căn bậc ba âm: ∛(−8) = −2 vì (−2)³ = −8. Còn ∛0 = 0. Trên trục số, hàm x ↦ x³ tăng liên tục từ −∞ đến +∞ nên mỗi a có duy nhất một ∛a thực.
So sánh căn bậc hai và căn bậc ba
√a là cạnh của hình vuông diện tích a (2 chiều) và chỉ xác định khi a ≥ 0. ∛a là cạnh của khối lập phương thể tích a (3 chiều) và xác định với mọi a. Vì thế √(−4) không có nghĩa trong số thực, nhưng ∛(−64) = −4 hoàn toàn hợp lệ.
Tính nhanh vài căn bậc ba
Muốn tính ∛a, ta đi tìm số mà lập phương của nó bằng a. Chẳng hạn ∛64 = 4 vì 4³ = 64; ∛125 = 5 vì 5³ = 125; ∛1000 = 10 vì 10³ = 1000. Với số âm, dấu được giữ nguyên vì lập phương của số âm vẫn âm: ∛(−27) = −3 vì (−3)³ = −27. Nếu a không phải là lập phương đúng — ví dụ a = 10 — thì ∛10 là một số vô tỉ nằm giữa 2 (vì 2³ = 8) và 3 (vì 3³ = 27), xấp xỉ 2,15. Trò chơi phía trên minh hoạ chính điều này: cạnh khối lập phương thay đổi liên tục theo thể tích a, nên mỗi a đều có một cạnh ∛a xác định, dù đẹp hay không đẹp.
Ứng dụng thực tế
Căn bậc ba xuất hiện khi:
- 📦 Biết thể tích một hộp lập phương, tìm chiều dài cạnh.
- 💧 Từ thể tích một giọt/quả cầu suy ra kích thước tuyến tính.
- ⚙️ Định luật tỉ lệ: thể tích tỉ lệ với lập phương của kích thước.
- 🧊 Giải phương trình dạng x³ = a trong đại số và vật lí.