Cấp số cộng là gì?
Một cấp số cộng là dãy số mà kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng thêm một số không đổi gọi là công sai d. Nếu số hạng đầu là u₁ thì số hạng tổng quát là uₙ = u₁ + (n−1)d. Ví dụ 2, 4, 6, 8, … là cấp số cộng với u₁ = 2 và d = 2.
Các bước tìm tổng Sₙ
- Xếp bậc thang: cột thứ k cao bằng số hạng uₖ, các cột tăng đều theo công sai d.
- Lấy bản sao của bậc thang rồi lật ngược (số hạng lớn nằm dưới, nhỏ nằm trên).
- Ghép hai bậc thang lại: mỗi cột ghép luôn cao đúng u₁ + uₙ, tạo thành hình chữ nhật n × (u₁+uₙ).
- Chia đôi: diện tích hình chữ nhật là hai lần tổng, nên Sₙ = n(u₁+uₙ)/2.
Vì sao công thức đúng?
Gọi S = u₁ + u₂ + … + uₙ. Viết tổng đó một lần xuôi và một lần ngược rồi cộng theo cột: (u₁+uₙ) + (u₂+uₙ₋₁) + … Vì công sai không đổi, mỗi cặp đối xứng đều bằng u₁ + uₙ. Có n cặp như vậy nên 2S = n(u₁+uₙ), suy ra Sₙ = n(u₁+uₙ)/2. Thay uₙ = u₁ + (n−1)d ta còn có Sₙ = n[2u₁ + (n−1)d]/2. Đây chính là cách cậu bé Gauss tính nhanh 1 + 2 + … + 100 = 5050.
Ứng dụng thực tế
Tổng cấp số cộng xuất hiện khi:
- 🏛️ Xếp gạch, chồng lon thành hàng tăng đều — đếm tổng số vật.
- 💰 Trả góp hoặc tiết kiệm tăng đều mỗi kỳ một khoản cố định.
- 🎭 Tính số ghế của khán phòng có mỗi hàng thêm cùng số ghế.
- 📊 Ước lượng nhanh tổng của một dãy số cách đều nhau.