Công thức cộng lượng giác là gì?
Công thức cộng cho phép tính giá trị lượng giác của tổng hai góc từ giá trị lượng giác của từng góc. Hai công thức cốt lõi là: sin(a + b) = sin a·cos b + cos a·sin b và cos(a + b) = cos a·cos b − sin a·sin b.
Các bước dùng công thức
- Xác định a và b sao cho góc cần tính là a + b (hoặc a − b).
- Tra sin, cos của a và b (từ bảng giá trị đặc biệt hoặc máy tính).
- Thay vào công thức, chú ý dấu: cos có dấu trừ, sin có dấu cộng.
- Rút gọn để ra giá trị cuối cùng.
Vì sao đúng
Trên đường tròn đơn vị, điểm ứng với góc θ có toạ độ (cos θ; sin θ). Khi quay điểm ở góc a thêm một góc b, phép quay biến (cos a; sin a) thành điểm mới ở góc a + b. Viết công thức phép quay ra toạ độ, ta được đúng hai đẳng thức trên — thành phần "cùng loại" (cos·cos, sin·sin) trừ nhau cho cos(a+b), thành phần "chéo" (sin·cos, cos·sin) cộng lại cho sin(a+b). Game minh hoạ chính điểm quay này.
Ví dụ mẫu: tính sin 75°
Ta viết 75° = 45° + 30° rồi dùng công thức cộng: sin 75° = sin 45°·cos 30° + cos 45°·sin 30°. Thay các giá trị đặc biệt sin 45° = cos 45° = √2/2, cos 30° = √3/2, sin 30° = 1/2 ta được sin 75° = (√2/2)·(√3/2) + (√2/2)·(1/2) = (√6 + √2)/4 ≈ 0,966. Kéo a = 45° và b = 30° trong game, chọn sin(a+b), phần kiểm chứng số sẽ hiện đúng giá trị 0,966 — trùng khớp với kết quả tính tay. Đây là cách mạnh để tìm giá trị lượng giác của những góc không có sẵn trong bảng đặc biệt.
Lỗi thường gặp
Sai lầm hay gặp nhất là tưởng sin(a + b) = sin a + sin b; điều này hoàn toàn sai (thử a = b = 30° sẽ thấy ngay). Lỗi thứ hai là nhầm dấu ở công thức cos: đúng phải là cos a·cos b − sin a·sin b với dấu trừ, chứ không phải dấu cộng. Lỗi thứ ba là lẫn công thức cộng với công thức trừ: với a − b, dấu của số hạng thứ hai đổi lại, tức sin(a − b) = sin a·cos b − cos a·sin b và cos(a − b) = cos a·cos b + sin a·sin b. Game giúp bạn ghi nhớ dấu bằng cách hiện thẳng từng tích và tổng ứng với góc bạn kéo.
Ứng dụng thực tế
Công thức cộng là chìa khoá của nhiều bài toán:
- 🧮 Tính giá trị lượng giác của góc không đặc biệt (ví dụ 75° = 45° + 30°).
- 🌊 Cộng, tổng hợp dao động và sóng cùng tần số trong vật lí.
- 📐 Suy ra công thức nhân đôi, hạ bậc, biến tích thành tổng.
- 💻 Phép quay điểm trong đồ hoạ máy tính và robot.