Công thức nhân đôi là gì?
Công thức nhân đôi cho phép tính giá trị lượng giác của góc 2a chỉ qua sin và cos của góc a. Ba công thức cốt lõi là: sin2a = 2·sina·cosa; cos2a = cos²a − sin²a; và tan2a = 2·tana / (1 − tan²a). Chúng đều là hệ quả trực tiếp của công thức cộng khi đặt hai góc bằng nhau.
Suy ra từ công thức cộng
- Viết sin(a+b) = sina·cosb + cosa·sinb, cho b = a: sin2a = 2·sina·cosa.
- Viết cos(a+b) = cosa·cosb − sina·sinb, cho b = a: cos2a = cos²a − sin²a.
- Chia tử và mẫu cho cos²a trong tan(a+b) khi b = a: tan2a = 2·tana / (1 − tan²a).
Ba dạng của cos2a và hạ bậc
Nhờ hệ thức sin²a + cos²a = 1, công thức cos2a có ba dạng tương đương: cos2a = cos²a − sin²a = 2cos²a − 1 = 1 − 2sin²a. Từ hai dạng cuối ta rút ra công thức hạ bậc rất hữu ích: cos²a = (1 + cos2a)/2 và sin²a = (1 − cos2a)/2, dùng để tính tích phân và giải phương trình lượng giác.
Ứng dụng thực tế
Công thức nhân đôi xuất hiện khi:
- 🌊 Phân tích dao động, sóng, tín hiệu (điều biên, trộn tần số).
- 📐 Giải phương trình lượng giác, rút gọn biểu thức.
- ∫ Hạ bậc để tính tích phân sin²a, cos²a.
- 🎯 Tính tầm xa vật ném xiên: R = v²·sin2α/g.