Xấp xỉ hình tròn bằng đa giác đều
Hình tròn là một đường cong mềm mại, khó đo trực tiếp. Nhưng một đa giác đều thì chỉ gồm các đoạn thẳng, rất dễ tính chu vi. Ý tưởng cốt lõi của phương pháp vét cạn là: nhồi vào trong đường tròn một đa giác đều nội tiếp, và bao ngoài đường tròn một đa giác đều ngoại tiếp. Khi tăng số cạnh n, cả hai đa giác càng lúc càng giống hình tròn, và chu vi của chúng càng lúc càng sát chu vi thật của đường tròn.
Kẹp số π giữa hai chu vi
Cho đường tròn bán kính R, chu vi của nó bằng 2πR. Đa giác nội tiếp nằm gọn trong đường tròn nên chu vi của nó nhỏ hơn 2πR; đa giác ngoại tiếp bao quanh đường tròn nên chu vi của nó lớn hơn 2πR. Với một đa giác đều n cạnh:
- Chu vi nội tiếp = 2nR·sin(π/n) — mỗi cạnh là dây cung ứng với góc ở tâm 2π/n.
- Chu vi ngoại tiếp = 2nR·tan(π/n) — mỗi cạnh là tiếp tuyến chạm đường tròn ở điểm giữa.
- Vì nội tiếp < đường tròn < ngoại tiếp, chia tất cả cho 2R ta được: n·sin(π/n) ≤ π ≤ n·tan(π/n).
- Khi n càng lớn, hai cận càng sát nhau và cùng tiến về π.
Archimedes và đa giác 96 cạnh
Khoảng năm 250 trước Công nguyên, Archimedes đã dùng chính ý tưởng này. Ông bắt đầu từ lục giác đều rồi liên tục gấp đôi số cạnh: 6 → 12 → 24 → 48 → 96. Với đa giác đều 96 cạnh nội tiếp và ngoại tiếp, ông chứng minh được:
223/71 < π < 22/7 (tức 3,1408 < π < 3,1429)
Đây là một thành tựu phi thường: không có máy tính, không có ký hiệu thập phân hiện đại, Archimedes vẫn kẹp được số π trong một khoảng rộng chưa tới 0,002. Phân số 22/7 từ đó trở thành ước lượng quen thuộc của π.
Trực giác về giới hạn
Khi n tiến tới vô cực, mỗi cạnh của đa giác ngắn dần về 0 và đa giác "ôm khít" lấy đường tròn. Cả chu vi nội tiếp lẫn ngoại tiếp đều có cùng một giới hạn là 2πR. Theo nguyên lý kẹp, π bị ép từ hai phía về đúng một giá trị duy nhất ≈ 3,14159. Diện tích cũng vậy: diện tích đa giác nội tiếp = ½·n·R²·sin(2π/n) tiến về πR². Đây chính là cách tư duy "giới hạn" — nền tảng của giải tích sau này.
Câu hỏi thường gặp
Tại sao chia cho 2R? Vì cả chu vi đường tròn (2πR) lẫn hai chu vi đa giác đều tỉ lệ với R. Chia cho 2R để khử R, ta thu được cận trên và cận dưới của riêng số π, không còn phụ thuộc bán kính.
n cần lớn cỡ nào? Tốc độ hội tụ khá nhanh: n = 96 đã cho 4 chữ số đúng đầu tiên của π. Mỗi lần gấp đôi số cạnh, sai số giảm khoảng 4 lần.
Ứng dụng thực tế
Phương pháp vét cạn và ý tưởng kẹp số π còn vang vọng đến tận hôm nay:
- 🧮 Là tiền thân của tích phân: tính diện tích bằng cách xấp xỉ rồi lấy giới hạn.
- 🖥️ Đồ hoạ máy tính vẽ "đường tròn" bằng đa giác nhiều cạnh.
- 📐 Ước lượng độ dài đường cong bằng các đoạn thẳng nhỏ (chiều dài cung).
- 🔢 Cảm hứng cho các thuật toán tính π hiện đại với hàng tỉ chữ số.