Đạo hàm của hàm số sin là gì?
Trong chương trình Toán lớp 11 — bộ sách Kết nối tri thức, ta học công thức (sin x)′ = cos x. Đạo hàm tại một điểm chính là độ dốc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm đó. Vậy công thức trên nói rằng: đứng ở bất kỳ điểm nào trên đường sin, độ nghiêng của con đường ngay dưới chân bạn luôn bằng đúng giá trị cos tại đó. Trò chơi phía trên cho bạn kiểm chứng điều này bằng tay.
Ý tưởng trực quan: ghi lại độ dốc thành một đồ thị mới
Hãy tưởng tượng bạn đạp xe dọc theo một con đường uốn lượn hình sin. Ở mỗi vị trí, độ dốc của mặt đường là một con số: dương khi lên dốc, âm khi xuống dốc, bằng 0 trên đỉnh đèo. Nếu cứ đi một đoạn lại ghi con số ấy vào một biểu đồ bên dưới, bạn sẽ thu được một đường cong mới — đó chính là đồ thị của đạo hàm.
- Tại x = 0, đường sin đi lên dốc nhất, tiếp tuyến nghiêng 45° theo tỉ lệ trục: độ dốc = 1. Và cos 0 = 1.
- Tại x = π/2 (đỉnh), tiếp tuyến nằm ngang: độ dốc = 0. Và cos(π/2) = 0.
- Tại x = π, đường sin lao xuống nhanh nhất: độ dốc = −1. Và cos π = −1.
- Quét hết một chu kỳ, các chấm độ dốc nối thành một đường hình sóng — trùng khít với y = cos x khi bạn bấm nút so sánh.
Vì sao (sin x)′ = cos x?
Theo định nghĩa đạo hàm, ta xét tỉ số biến thiên rồi cho Δx tiến về 0:
(sin x)′ = lim [sin(x+Δx) − sin x]/Δx = lim [sin x·(cos Δx − 1) + cos x·sin Δx]/Δx
Dùng hai giới hạn cơ bản của lớp 11: sin Δx/Δx → 1 và (cos Δx − 1)/Δx → 0 khi Δx → 0. Số hạng đầu triệt tiêu, số hạng sau còn lại đúng cos x. Điều mà phép biến đổi đại số nói bằng ký hiệu, trò chơi nói bằng hình ảnh: chấm độ dốc luôn rơi đúng lên đường cos.
Một cách nhớ nhanh trên vòng tròn đơn vị: sin là "độ cao" của điểm quay, còn tốc độ thay đổi độ cao lại chính là "độ xa theo phương ngang" — tức cos. Cứ thế xoay tiếp, ta có chuỗi đạo hàm tuần hoàn đẹp mắt: sin → cos → −sin → −cos → sin.
Câu hỏi thường gặp
Đạo hàm của sin x là gì? Là cos x: (sin x)′ = cos x. Độ dốc tiếp tuyến với đồ thị y = sin x tại x₀ luôn bằng cos x₀.
Vì sao tại đỉnh của đồ thị sin thì đạo hàm bằng 0? Tại x = π/2 đồ thị đổi chiều từ tăng sang giảm nên tiếp tuyến nằm ngang, độ dốc bằng 0 — trùng đúng với cos(π/2) = 0.
Còn đạo hàm của cos x? Là −sin x. Bạn có thể tự kiểm tra bằng chính trò chơi này: hãy quan sát đường cos vừa vẽ được và tưởng tượng ghi lại độ dốc của nó thêm một lần nữa.
Ứng dụng thực tế
Cặp đôi sin–cos trong đạo hàm xuất hiện ở mọi chuyển động dao động:
- 🎡 Đu quay: độ cao của cabin biến thiên theo sin, còn vận tốc lên xuống của nó biến thiên theo cos — nhanh nhất lúc ngang tâm, bằng 0 ở đỉnh.
- 🔌 Dòng điện xoay chiều i = I₀sin(ωt): tốc độ biến thiên của dòng điện (quyết định suất điện động cảm ứng) tỉ lệ với cos(ωt).
- 🎸 Dây đàn rung theo sin: vận tốc từng điểm trên dây theo cos, giúp tính năng lượng và âm lượng của nốt nhạc.
- 🌊 Dự báo thủy triều: mực nước theo sin, còn tốc độ nước dâng — thứ người đi biển cần biết — chính là đạo hàm cos.