Quy tắc tính đạo hàm là gì?
Khi đã biết đạo hàm của từng hàm số thành phần, ta có thể ghép chúng lại để tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích và thương mà không cần quay lại định nghĩa giới hạn. Đây là bộ công cụ nền tảng của giải tích lớp 11 (bộ sách Kết nối tri thức).
Ba quy tắc chính
- Tổng, hiệu: (u + v)′ = u′ + v′ và (u − v)′ = u′ − v′.
- Tích: (uv)′ = u′v + uv′ — không phải u′v′.
- Thương: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v² với v ≠ 0.
- Hằng nhân hàm: (k·u)′ = k·u′ với k là hằng số.
Vì sao đúng và cách kiểm chứng
Đạo hàm f′(x0) chính là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm hoành độ x0. Vì thế sau khi dùng công thức để tính f′(x), ta thay x = x0 rồi vẽ đường thẳng đi qua điểm (x0; f(x0)) với đúng hệ số góc đó: nếu nó "ôm" sát đồ thị thì kết quả đúng. Game này làm đúng phép kiểm chứng ấy trên canvas.
Lỗi thường gặp
Sai lầm phổ biến nhất là tưởng đạo hàm của tích bằng tích các đạo hàm, tức viết (uv)′ = u′v′. Điều này sai: với u = x và v = x thì uv = x², đạo hàm đúng là 2x, trong khi u′v′ = 1·1 = 1. Tương tự, (u/v)′ không bằng u′/v′. Một lỗi khác là quên đổi dấu ở tử của công thức thương: tử là u′v − uv′ theo đúng thứ tự đó, đảo lại sẽ sai dấu. Khi gặp hàm hợp như (2x + 1)³, phải nhớ thêm quy tắc dây chuyền: nhân với đạo hàm của hàm bên trong. Game này luôn hiện từng bước để bạn tự đối chiếu và tránh các bẫy đó.
Ví dụ mẫu có lời giải
Xét f(x) = x·(x + 2). Áp dụng quy tắc tích với u = x, v = x + 2: ta có u′ = 1 và v′ = 1, nên f′(x) = u′v + uv′ = 1·(x + 2) + x·1 = 2x + 2. Tại x₀ = 0,4 thì f′(0,4) = 2,8 — đúng bằng hệ số góc tiếp tuyến mà game vẽ ra trên đồ thị. Bạn có thể kiểm tra lại bằng cách khai triển trước: x·(x + 2) = x² + 2x, đạo hàm cho ra 2x + 2, hoàn toàn khớp. Việc hai cách cho cùng kết quả là bằng chứng trực quan cho thấy quy tắc tích hoạt động đúng.
Ứng dụng thực tế
Quy tắc đạo hàm xuất hiện ở khắp nơi:
- 🚗 Tính vận tốc, gia tốc từ hàm quãng đường theo thời gian.
- 📈 Tìm cực trị, khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
- 💰 Phân tích biên trong kinh tế (chi phí biên, doanh thu biên).
- ⚙️ Tối ưu hoá kĩ thuật: cực tiểu vật liệu, cực đại hiệu suất.