Đạo hàm là độ dốc
Lấy hai điểm trên đồ thị y = f(x): tiếp điểm A(x₀, f(x₀)) và một điểm B(x₀+h, f(x₀+h)) cách A một khoảng h theo trục hoành. Đường thẳng AB là cát tuyến; độ dốc của nó là tỉ số biến thiên [f(x₀+h) − f(x₀)] / h. Cho h nhỏ dần về 0, B trượt về A, cát tuyến xoay dần và hội tụ về tiếp tuyến tại A.
Các bước
- Chọn x₀ — hoành độ của tiếp điểm A.
- Nối cát tuyến qua A và B cách nhau khoảng h.
- Kéo h → 0 — B lại gần A, cát tuyến thành tiếp tuyến.
- Đọc hệ số góc — giá trị giới hạn đó chính là f′(x₀).
Phương trình tiếp tuyến
Tiếp tuyến đi qua tiếp điểm (x₀, f(x₀)) với hệ số góc f′(x₀), nên có phương trình y = f′(x₀)·(x − x₀) + f(x₀). Trong game, hàm mẫu là f(x) = 0,3x² + 1 nên f′(x) = 0,6x; ví dụ tại x₀ = 1 thì f′(1) = 0,6 và tiếp tuyến là y = 0,6(x − 1) + 1,3.
Định nghĩa bằng giới hạn và ví dụ
Chính xác thì đạo hàm được định nghĩa bằng giới hạn: f′(x₀) = lim của [f(x₀+h) − f(x₀)] / h khi h → 0. Vì cát tuyến có hệ số góc đúng bằng tỉ số này, nên khi h → 0 hệ số góc cát tuyến hội tụ về f′(x₀) — chính là hệ số góc tiếp tuyến. Với hàm mẫu f(x) = 0,3x² + 1, ta tính trực tiếp: f(x₀+h) − f(x₀) = 0,3[(x₀+h)² − x₀²] = 0,3(2x₀h + h²), chia cho h được 0,6x₀ + 0,3h. Cho h → 0 phần 0,3h biến mất, còn lại f′(x₀) = 0,6x₀. Trong game, khi bạn kéo h nhỏ dần, con số ở ô hệ số góc cát tuyến sẽ tiến sát ô f′(x₀), cho thấy giới hạn này rất trực quan. Lưu ý một sai lầm thường gặp: không được thay thẳng h = 0 vào tỉ số vì sẽ ra dạng 0/0 vô nghĩa; ta phải rút gọn trước rồi mới cho h tiến tới 0. Sau khi có f′(x₀), phương trình tiếp tuyến y = f′(x₀)(x − x₀) + f(x₀) hiện ngay dưới đồ thị, giúp nối liền ý nghĩa hình học và đại số của đạo hàm.
Ứng dụng thực tế
Đạo hàm đo tốc độ thay đổi tức thời:
- 🚗 Vận tốc tức thời = đạo hàm của quãng đường theo thời gian.
- 📈 Tìm cực trị: nơi f′(x) = 0 hàm có thể đạt cao nhất/thấp nhất.
- 💹 Biên tế trong kinh tế: chi phí/lợi nhuận biên là đạo hàm.
- ⚙️ Tối ưu hoá thiết kế, tốc độ phản ứng, dòng điện tức thời.