Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị và Ox

Diện tích hình phẳng là gì?

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = f(x), trục hoành Ox và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bằng S = ∫_a^b |f(x)| dx. Dấu trị tuyệt đối là điểm mấu chốt: nó đảm bảo mọi phần của hình đều đóng góp một lượng diện tích dương.

Vì sao phải lấy trị tuyệt đối?

Tích phân thường ∫_a^b f(x) dx là diện tích đại số: nơi đồ thị nằm trên trục Ox thì f(x) > 0 nên cộng dương; nơi đồ thị nằm dưới trục thì f(x) < 0 nên trừ đi. Vì thế tích phân có thể bằng 0 dù hình phẳng rõ ràng khác rỗng. Diện tích là đại lượng đo bề mặt, không thể âm — nên ta phải "lật" mọi phần âm lên bằng |f(x)|.

Các bước tính

1. Tìm nghiệm của f(x) = 0 trong [a; b] để biết đồ thị đổi dấu ở đâu.
2. Chia [a; b] thành các đoạn con mà trên mỗi đoạn f(x) giữ nguyên dấu.
3. Lấy tích phân từng đoạn rồi cộng các trị tuyệt đối lại.
4. Kết luận: S là tổng dương của mọi phần, luôn ≥ 0.

Ứng dụng thực tế

Diện tích hình phẳng qua tích phân xuất hiện khi:

• 🚗 Tính quãng đường từ đồ thị vận tốc theo thời gian.
• 💧 Tính lượng nước, lượng khí tích lũy theo lưu lượng.
• 📐 Đo diện tích mảnh đất, thiết diện có biên là đường cong.
• 📊 Tính công, năng lượng trong vật lí bằng diện tích dưới đường cong.