Định lý cos là gì?
Định lý cos (hay định lý hàm số cosin) liên hệ độ dài ba cạnh của một tam giác với một góc của nó. Với tam giác có hai cạnh a, b kề góc C và cạnh c đối diện góc C: c² = a² + b² − 2ab·cosC. Tương tự, ta cũng có a² = b² + c² − 2bc·cosA và b² = a² + c² − 2ac·cosB. Trò chơi phía trên cho bạn kéo góc C và thấy cạnh c thay đổi đúng theo công thức.
Mở rộng định lý Pythagoras: số hạng −2ab·cosC
Định lý Pythagoras c² = a² + b² chỉ đúng cho tam giác vuông. Định lý cos thêm vào một số hạng hiệu chỉnh −2ab·cosC để đúng cho mọi tam giác. Chìa khoá nằm ở cos của góc C:
- Khi C = 90°, ta có cosC = cos90° = 0, nên −2ab·cosC = 0 và công thức rút gọn thành c² = a² + b².
- Khi C nhọn (C < 90°), cosC > 0, nên số hạng hiệu chỉnh âm → c² < a² + b² (cạnh c ngắn hơn).
- Khi C tù (C > 90°), cosC < 0, nên số hạng hiệu chỉnh dương → c² > a² + b² (cạnh c dài hơn).
- Vậy Pythagoras chỉ là một trường hợp đặc biệt của định lý cos, khi góc giữa hai cạnh đúng bằng 90°.
Ba trường hợp: nhọn, vuông, tù
Dấu của số hạng −2ab·cosC quyết định độ dài cạnh c so với cạnh huyền giả định √(a²+b²):
C < 90° → c² < a²+b² | C = 90° → c² = a²+b² | C > 90° → c² > a²+b²
Trong game, hãy kéo góc C qua mốc 90° và quan sát: thanh chỉ báo của số hạng 2ab·cosC đổi dấu, và cạnh c (cũng như hình vuông c² đối diện) lớn lên hay nhỏ đi theo đúng quy luật trên.
Giải tam giác bằng định lý cos (SAS, SSS)
Trường hợp SAS (cạnh – góc – cạnh): biết hai cạnh a, b và góc xen giữa C, ta tính ngay cạnh thứ ba: c = √(a² + b² − 2ab·cosC).
Trường hợp SSS (ba cạnh): biết cả ba cạnh, ta tìm được góc bất kỳ bằng cách biến đổi công thức: cosC = (a² + b² − c²) / (2ab), rồi C = arccos của giá trị đó.
Câu hỏi thường gặp
Định lý cos dùng khi nào? Dùng khi biết hai cạnh và góc xen giữa (SAS) để tìm cạnh còn lại, hoặc biết cả ba cạnh (SSS) để tìm một góc. Nếu biết hai góc và một cạnh thì nên dùng định lý sin.
Có cần đổi độ sang radian không? Khi tính bằng máy tính/lập trình, hàm cos thường nhận radian, nên phải đổi C° × π/180 trước khi lấy cos. Trong game này việc đổi đó được làm tự động.
Ứng dụng thực tế
Định lý cos được dùng rộng rãi mỗi khi cần đo khoảng cách qua một góc:
- 🧭 Định vị và dẫn đường: tính khoảng cách giữa hai điểm khi biết hai đoạn và góc lệch hướng.
- 📐 Trắc địa, đo đạc đất đai: tìm cạnh hoặc góc của thửa đất hình tam giác.
- 🛰️ Kỹ thuật, robot: tính độ dài cánh tay máy hay khoảng cách giữa hai khớp nối.
- ⚛️ Vật lý: cộng hai vectơ lực/vận tốc lệch nhau một góc, độ lớn hợp lực dùng đúng công thức này.