Hàm số trùng phương là gì?
Hàm số trùng phương có dạng y = ax⁴ + bx² + c với a ≠ 0. Vì chỉ chứa các lũy thừa chẵn của x (là x⁴ và x²) nên nó là hàm chẵn: y(−x) = y(x). Do đó đồ thị luôn đối xứng qua trục tung Oy — đây là đặc điểm nhận dạng đầu tiên.
Số cực trị phụ thuộc dấu của a và b
Đạo hàm y' = 4ax³ + 2bx = 2x(2ax² + b). Phương trình y' = 0 luôn có nghiệm x = 0; hai nghiệm còn lại x² = −b/(2a) chỉ tồn tại khi −b/(2a) > 0, tức a và b trái dấu.
- a·b < 0 (a, b trái dấu) → ba cực trị: đồ thị chữ W (a>0) hoặc chữ M (a<0).
- a·b ≥ 0 (cùng dấu hoặc b=0) → một cực trị tại x=0: đồ thị chữ U (a>0) hoặc chữ ∩ (a<0).
- Dấu của a quyết định hai nhánh đi lên (a>0) hay đi xuống (a<0) khi x ra xa.
- Hệ số c chỉ tịnh tiến đồ thị lên/xuống, vì y(0)=c là giao điểm với trục tung.
Vì sao đối xứng qua trục tung?
Thay x bằng −x: a(−x)⁴ + b(−x)² + c = ax⁴ + bx² + c, không đổi. Nghĩa là điểm (x; y) và (−x; y) luôn cùng thuộc đồ thị, nên mỗi điểm có một điểm phản chiếu qua trục Oy. Nếu có hai cực trị bên, chúng đối xứng nhau và có cùng giá trị y.
Ứng dụng thực tế
Hàm trùng phương và đường cong bậc bốn xuất hiện khi:
- ⚛️ Mô tả thế năng hai giếng (double-well) trong vật lí, hóa học.
- 📐 Khảo sát hàm số và biện luận số nghiệm phương trình bậc bốn.
- 🏗️ Tối ưu hình dạng dầm, mặt cắt trong kỹ thuật.
- 📈 Làm khớp đường cong đối xứng trong đồ thị dữ liệu.