Vectơ chỉ phương và pháp tuyến là gì?
Một đường thẳng trong mặt phẳng có thể được xác định bằng một điểm nó đi qua và một hướng. Hướng ấy được mô tả bởi vectơ chỉ phương u — một vectơ khác 0 song song với đường thẳng. Vuông góc với đường thẳng (và với u) là vectơ pháp tuyến n. Cả hai đều đặc trưng cho hướng của đường thẳng, chỉ khác nhau ở góc 90°.
Vì sao u = (−b, a) khi n = (a, b)?
Hai vectơ vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0. Với n=(a,b) và u=(−b,a): u·n = (−b)·a + a·b = −ab + ab = 0. Vậy u=(−b,a) luôn vuông góc với n=(a,b). Ngược lại cũng đúng: đổi chỗ hai tọa độ rồi đổi dấu một tọa độ là cách nhanh để lấy một vectơ vuông góc.
Các bước lập phương trình
- Chọn một điểm M(x₀, y₀) mà đường thẳng đi qua.
- Phương trình tham số từ vectơ chỉ phương u=(u₁, u₂): x = x₀ + u₁·t, y = y₀ + u₂·t.
- Phương trình tổng quát từ vectơ pháp tuyến n=(a, b): a(x − x₀) + b(y − y₀) = 0, tức ax + by + c = 0.
- Đổi qua lại: từ n=(a,b) suy ra u=(−b,a) và ngược lại.
Ứng dụng thực tế
Vectơ chỉ phương và pháp tuyến xuất hiện khi:
- 📐 Viết phương trình đường thẳng, tìm giao điểm, xét song song hay vuông góc.
- 🎮 Đồ họa máy tính: pháp tuyến bề mặt quyết định ánh sáng và va chạm.
- 🤖 Robot và lidar: hướng chuyển động (u) và hướng vuông tường (n).
- 📊 Hồi quy tuyến tính và ranh giới phân loại trong học máy.