Dây cung và khoảng cách đến tâm
Dây cung là đoạn thẳng nối hai điểm trên đường tròn. Với đường tròn bán kính R, gọi d là khoảng cách từ tâm đến dây (đo theo phương vuông góc). Quan hệ mấu chốt là: dây càng gần tâm (d nhỏ) thì càng dài, và ngược lại. Khi dây đi qua tâm (d = 0) thì nó là đường kính — dây dài nhất, bằng 2R.
Các bước hiểu
- Hạ đường vuông góc từ tâm O xuống dây, chân đường vuông góc là H.
- H là trung điểm của dây: đường từ tâm vuông góc dây luôn chia đôi dây.
- Xét tam giác vuông OHA (A là một đầu dây): nửa dây HA, cạnh OH = d, cạnh huyền OA = R.
- Áp dụng Pythagoras: nửa dây = √(R² − d²), nên độ dài dây = 2·√(R² − d²).
Vì sao dây gần tâm thì dài hơn?
Từ công thức độ dài dây = 2√(R² − d²): khi d nhỏ đi thì R² − d² lớn lên, nên dây dài ra. Khi d = 0, dây đạt dài nhất bằng 2R (đường kính). Khi d tiến tới R, dây co lại về 0 (dây thu về một điểm tiếp xúc). Suy ra: hai dây bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm; dây nào gần tâm hơn thì dài hơn. Đó cũng là lý do đường kính luôn là dây dài nhất của đường tròn.
Ứng dụng thực tế
Quan hệ dây — khoảng cách xuất hiện khi:
- 🏗️ Tính bề rộng một cây cầu vòm hay ống cống theo độ sâu.
- 📐 Xác định tâm và bán kính của một cung tròn từ số đo thực tế.
- 🛰️ Bài toán tầm nhìn, đường chân trời, đo khoảng cách trên mặt cầu.
- ⚙️ Thiết kế chi tiết máy, bánh răng, gương cầu có mặt cắt là cung tròn.