Dây cung và khoảng cách đến tâm

Dây cung và khoảng cách đến tâm

Dây cung là đoạn thẳng nối hai điểm trên đường tròn. Với đường tròn bán kính R, gọi d là khoảng cách từ tâm đến dây (đo theo phương vuông góc). Quan hệ mấu chốt là: dây càng gần tâm (d nhỏ) thì càng dài, và ngược lại. Khi dây đi qua tâm (d = 0) thì nó là đường kính — dây dài nhất, bằng 2R.

Các bước hiểu

1. Hạ đường vuông góc từ tâm O xuống dây, chân đường vuông góc là H.
2. H là trung điểm của dây: đường từ tâm vuông góc dây luôn chia đôi dây.
3. Xét tam giác vuông OHA (A là một đầu dây): nửa dây HA, cạnh OH = d, cạnh huyền OA = R.
4. Áp dụng Pythagoras: nửa dây = √(R² − d²), nên độ dài dây = 2·√(R² − d²).

Vì sao dây gần tâm thì dài hơn?

Từ công thức độ dài dây = 2√(R² − d²): khi d nhỏ đi thì R² − d² lớn lên, nên dây dài ra. Khi d = 0, dây đạt dài nhất bằng 2R (đường kính). Khi d tiến tới R, dây co lại về 0 (dây thu về một điểm tiếp xúc). Suy ra: hai dây bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm; dây nào gần tâm hơn thì dài hơn. Đó cũng là lý do đường kính luôn là dây dài nhất của đường tròn.

Ứng dụng thực tế

Quan hệ dây — khoảng cách xuất hiện khi:

• 🏗️ Tính bề rộng một cây cầu vòm hay ống cống theo độ sâu.
• 📐 Xác định tâm và bán kính của một cung tròn từ số đo thực tế.
• 🛰️ Bài toán tầm nhìn, đường chân trời, đo khoảng cách trên mặt cầu.
• ⚙️ Thiết kế chi tiết máy, bánh răng, gương cầu có mặt cắt là cung tròn.