GTLN và GTNN trên đoạn là gì?
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó luôn tồn tại một điểm mà tại đó hàm đạt giá trị lớn nhất (GTLN) và một điểm đạt giá trị nhỏ nhất (GTNN). Điều thú vị: hai giá trị này chỉ có thể "trốn" ở một trong hai nơi — tại điểm cực trị nằm bên trong khoảng (a; b), hoặc ngay tại đầu mút a, b.
Các bước tìm GTLN, GTNN
- Tính đạo hàm f'(x) và tìm các điểm tới hạn xi thuộc (a; b) nơi f'(x) = 0 hoặc f' không xác định.
- Tính giá trị f(xi) tại các điểm tới hạn đó.
- Tính giá trị tại hai đầu mút f(a) và f(b).
- So sánh tất cả: số lớn nhất là GTLN, số nhỏ nhất là GTNN.
Vì sao cách này đúng?
Tại điểm mà hàm đạt cực đại hay cực tiểu bên trong đoạn, tiếp tuyến nằm ngang nên f'(x) = 0 — đó là lý do ta bắt đầu từ nghiệm của đạo hàm. Nhưng đồ thị vẫn có thể vẫn đang "leo dốc" khi chạm biên, nên giá trị cực đoan lại rơi vào đầu mút. Vì chỉ có hữu hạn điểm "nghi ngờ" này, ta chỉ cần liệt kê giá trị của chúng rồi chọn số lớn nhất và nhỏ nhất là chắc chắn đúng.
Ứng dụng thực tế
Bài toán tìm GTLN, GTNN xuất hiện khắp nơi:
- 📦 Thiết kế hộp tốn ít vật liệu nhất mà thể tích lớn nhất.
- 💰 Tìm mức giá cho lợi nhuận cao nhất trong khoảng cho phép.
- 🚗 Tính vận tốc, quãng đường lớn/nhỏ nhất trong một khoảng thời gian.
- 📐 Bài toán tối ưu diện tích, chu vi khi bị ràng buộc.