Góc giữa hai đường thẳng là gì?
Khi hai đường thẳng cắt nhau, chúng tạo thành bốn góc chia thành hai cặp góc đối đỉnh bằng nhau. Theo quy ước, góc giữa hai đường thẳng là góc nhỏ hơn hoặc bằng 90° trong số đó — tức góc nhọn (hoặc góc vuông). Nếu hai đường song song hoặc trùng nhau, góc giữa chúng bằng 0°.
Công thức
Cho hai đường thẳng có vectơ pháp tuyến n₁=(a₁; b₁) và n₂=(a₂; b₂). Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng, khi đó:
cosφ = |n₁·n₂| / (|n₁|·|n₂|) = |a₁a₂ + b₁b₂| / (√(a₁²+b₁²)·√(a₂²+b₂²))
Các bước tính
- Lấy vectơ pháp tuyến n₁, n₂ từ hai phương trình tổng quát.
- Tính tích vô hướng n₁·n₂ = a₁a₂ + b₁b₂ rồi lấy trị tuyệt đối.
- Tính độ dài |n₁| và |n₂|.
- Suy ra cosφ, rồi φ = arccos(…), với 0° ≤ φ ≤ 90°.
Vì sao có trị tuyệt đối và giới hạn 0°–90°?
Góc giữa hai vectơ pháp tuyến có thể là góc tù nếu ta chọn hướng vectơ ngược nhau. Nhưng góc giữa hai đường thẳng không phụ thuộc hướng của vectơ pháp tuyến — đổi n thành −n vẫn cùng một đường thẳng. Vì thế ta lấy trị tuyệt đối của tích vô hướng để cosφ luôn không âm, khiến φ luôn là góc nhọn hoặc vuông (0° ≤ φ ≤ 90°). Khi n₁·n₂ = 0, cosφ = 0 nên φ = 90°: hai đường thẳng vuông góc.
Ứng dụng thực tế
Góc giữa hai đường thẳng dùng để:
- 📐 Xác định độ nghiêng giao nhau của hai con đường, hai bức tường.
- 🛩️ Tính góc va chạm giữa hai quỹ đạo, hai hướng chuyển động.
- 🧱 Kiểm tra kết cấu có vuông góc chuẩn hay không trong xây dựng.
- 🎮 Đồ họa, robot: đo hướng lệch giữa hai đoạn thẳng, hai cạnh.