Định lý góc nội tiếp
Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm O của đường tròn. Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh là hai dây cung. Định lý góc nội tiếp khẳng định: trong một đường tròn, góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn một cung. Trò chơi phía trên cho bạn thấy điều đó đúng với mọi vị trí của điểm P.
Kéo P — quan hệ 2:1 không bao giờ thay đổi
Hai điểm A và B cố định trên đường tròn xác định một cung. Điểm P bạn kéo được nằm trên cung lớn (phía không chứa dây AB). Dù P ở đâu, góc nội tiếp ∠APB vẫn giữ nguyên giá trị, vì nó luôn bằng nửa góc ở tâm ∠AOB.
- Góc ở tâm ∠AOB chỉ phụ thuộc cung AB — nó không đổi khi ta kéo P.
- Mọi góc nội tiếp ∠APB chắn cung AB đều bằng nhau.
- Giá trị chung ấy luôn đúng bằng một nửa góc ở tâm.
- Đổi cung AB bằng thanh trượt: tỉ lệ 2:1 vẫn được giữ.
Phác chứng minh: dựng đường kính qua P
Xét trường hợp tâm O nằm trên một cạnh của góc nội tiếp. Tam giác OAP cân tại O vì OA = OP = bán kính, nên hai góc đáy bằng nhau. Góc ở tâm ∠AOB (ở đây là góc ngoài đỉnh O của tam giác OAP) bằng tổng hai góc đáy, tức bằng hai lần góc ∠APO. Vậy ∠APB = ½∠AOB.
Trường hợp tổng quát: kẻ đường kính từ P. Nó chia góc nội tiếp ∠APB thành hai góc, mỗi góc rơi vào trường hợp cân đã chứng minh ở trên. Cộng (hoặc trừ) hai phần lại, ta vẫn được ∠APB = ½∠AOB. Vì hai tam giác cân OAP và OBP cho ra quan hệ "góc ngoài gấp đôi", quan hệ một nửa luôn đúng.
Trường hợp đặc biệt: góc chắn nửa đường tròn
Khi A và B là hai đầu của một đường kính, góc ở tâm ∠AOB = 180°. Theo định lý, góc nội tiếp ∠APB = ½ × 180° = 90°. Đó chính là lý do góc nội tiếp chắn nửa đường tròn luôn là góc vuông — một hệ quả cực kỳ hữu ích khi dựng hình và chứng minh.
Câu hỏi thường gặp
Góc nội tiếp bằng bao nhiêu góc ở tâm? Bằng một nửa, miễn là cả hai cùng chắn một cung. Ví dụ góc ở tâm 120° thì góc nội tiếp là 60°.
Vì sao các góc nội tiếp cùng chắn một cung bằng nhau? Vì tất cả đều bằng nửa cùng một góc ở tâm, mà góc ở tâm không đổi.
Ứng dụng thực tế
Định lý góc nội tiếp được dùng rất nhiều:
- 📐 Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn (tứ giác nội tiếp).
- 📏 Dựng góc vuông bằng cách lấy điểm trên đường tròn đường kính cho trước.
- 🧭 Bài toán "góc nhìn" không đổi: ngắm một đoạn AB dưới một góc cố định thì đỉnh nằm trên một cung tròn.
- ⚽ Trong thể thao, "góc sút" vào khung thành liên hệ với cung tròn đi qua hai cột gôn.