Hai quy tắc gốc của lũy thừa
Mọi tính chất của lũy thừa và logarit đều bắt nguồn từ hai quy tắc đơn giản. Thứ nhất, khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số ta cộng các số mũ: aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Thứ hai, khi nâng một lũy thừa lên lũy thừa ta nhân các số mũ: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Từ đây suy ra aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ và a⁰ = 1.
Logarit là số mũ
Logarit cơ số a của một số x, viết logₐx, chính là số mũ cần đặt lên a để được x: nếu aᵘ = x thì logₐx = u. Nói cách khác, logarit và lũy thừa là hai phép toán ngược nhau. Vì lũy thừa biến phép cộng số mũ thành phép nhân, nên logarit làm điều ngược lại: biến phép nhân thành phép cộng.
Vì sao logₐ(xy) = logₐx + logₐy
Đặt x = aᵘ và y = aᵛ. Khi đó xy = aᵘ·aᵛ = aᵘ⁺ᵛ theo quy tắc cộng số mũ. Lấy logarit hai vế: logₐ(xy) = u + v = logₐx + logₐy. Tương tự với phép chia: logₐ(x/y) = u − v = logₐx − logₐy. Còn logₐ(xⁿ) = n·logₐx vì xⁿ = aⁿᵘ.
Cộng độ dài trên thang log
Trên một thang chia theo logarit, các mốc 1, a, a², a³ cách đều nhau đúng một đoạn, vì khoảng cách chỉ phụ thuộc số mũ chứ không phụ thuộc giá trị. Do đó đo x cho ta đoạn dài logₐx, đo y cho ta đoạn dài logₐy; đặt nối tiếp hai đoạn thì tổng độ dài rơi trúng vào vị trí tích xy. Đây chính là nguyên lí của thước loga: người xưa nhân hai số lớn chỉ bằng cách trượt hai thanh thước để cộng độ dài, khỏi cần nhân tay.
- Thang logarit: khoảng cách từ mốc 1 đến số x đúng bằng logₐx.
- Đo x rồi đo y: hai đoạn có độ dài logₐx và logₐy.
- Ghép hai đoạn: tổng độ dài rơi đúng vào vị trí của tích xy.
- Kiểm chứng số: máy tính logₐx + logₐy = logₐ(xy) đến từng chữ số.
Ứng dụng thực tế
Tính chất logarit xuất hiện khắp nơi:
- 📏 Thang đo pH, độ Richter động đất, decibel âm thanh đều là thang logarit.
- 🖩 Thước loga và bảng logarit xưa nhân số lớn bằng cách cộng độ dài.
- 💰 Lãi kép, phân rã phóng xạ, tăng trưởng dân số dùng hàm mũ.
- 🎵 Cao độ nhạc, độ sáng sao trời cũng theo cảm nhận logarit.