Hàm số tuần hoàn là gì?
Một hàm số y=f(x) gọi là tuần hoàn nếu tồn tại một số dương T sao cho với mọi x trong tập xác định ta luôn có x+T cũng thuộc tập xác định và f(x+T)=f(x). Số dương T nhỏ nhất thỏa điều kiện này gọi là chu kỳ của hàm số. Về mặt hình học: đồ thị lặp lại y hệt sau mỗi khoảng dài T — chỉ cần biết một chu kỳ là suy ra toàn bộ đồ thị.
Chu kỳ của sin, cos, tan
Hàm y=sinx và y=cosx tuần hoàn với chu kỳ T=2π: sin(x+2π)=sinx và cos(x+2π)=cosx. Điều này đúng vì điểm chạy hết một vòng tròn đơn vị (dài 2π) rồi trở lại vị trí cũ. Hàm y=tanx và y=cotx lại tuần hoàn với chu kỳ nhỏ hơn, T=π, vì tan(x+π)=tanx.
Các bước nhận biết tính tuần hoàn
- Chọn một hàm sin, cos hay tan.
- Tô một chu kỳ có bề rộng đúng bằng T.
- Trượt đồ thị đi một đoạn dài T và quan sát.
- Kết luận: mảnh tô trùng khít đoạn kế bên ⇒ f(x+T)=f(x).
Hàm chẵn và hàm lẻ
Ngoài tuần hoàn, các hàm lượng giác còn có tính đối xứng. Hàm y=cosx là hàm chẵn vì cos(−x)=cosx, đồ thị đối xứng qua trục tung Oy. Hàm y=sinx, y=tanx, y=cotx là hàm lẻ vì sin(−x)=−sinx, đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O. Tính chẵn lẻ giúp vẽ nhanh nửa còn lại của đồ thị.
Ứng dụng thực tế
Tính tuần hoàn của hàm lượng giác xuất hiện khi:
- 🌊 Mô tả sóng nước, sóng âm, dao động điều hòa của con lắc.
- ⚡ Biểu diễn dòng điện, điện áp xoay chiều theo thời gian.
- 🌙 Dự đoán thủy triều, chu kỳ ngày đêm, mùa trong năm.
- 🎵 Phân tích âm thanh, nhịp tim và tín hiệu tuần hoàn.