Đoạn tan trên tiếp tuyến là gì?
Vẽ đường thẳng đứng tiếp xúc đường tròn đơn vị tại điểm (1; 0). Kéo dài bán kính OM cắt đường tiếp tuyến này tại điểm T. Tung độ của T chính là tan x, vì tan x = sin x / cos x. Khi góc x thay đổi, đoạn tan này dài ngắn khác nhau và trải ra thành đồ thị hàm tan.
Các bước dựng đồ thị tan
- Đặt điểm M ứng với góc x và kéo dài bán kính OM.
- Giao với tiếp tuyến x=1 để lấy điểm T, cao độ của T là tan x.
- Vẽ điểm (x; tan x) lên hệ trục bên phải.
- Gần π/2+kπ: bán kính gần như song song tiếp tuyến → tan vọt ra vô cực → tiệm cận đứng.
Vì sao chu kỳ là π, không phải 2π?
Khi góc tăng thêm π, điểm M chạy sang phía đối diện của đường tròn nhưng đường thẳng OM (đường thẳng, không phải tia) giữ nguyên hướng → giao điểm T với tiếp tuyến không đổi. Do đó tan(x+π)=tanx, tức chu kỳ π. Hàm cot cũng vậy: cot x = cos x / sin x, không xác định tại x=kπ, nên có tiệm cận đứng tại các điểm đó và cũng có chu kỳ π.
Ứng dụng thực tế
Hàm tan và cot xuất hiện khi cần tính góc dốc, hướng:
- 📐 Tính độ dốc (slope) = tan của góc nghiêng.
- 🏔️ Đo chiều cao vật bằng góc ngẩng và khoảng cách.
- 🧭 Định hướng, trắc địa, thiên văn.
- 🎮 Tính góc bắn, quỹ đạo trong lập trình đồ họa/game.