Miền nghiệm là gì?
Một bất phương trình bậc nhất hai ẩn dạng ax + by ≤ c (hay ≥, <, >) chia mặt phẳng toạ độ thành hai phần bởi đường thẳng ax + by = c. Tập nghiệm của nó là một nửa mặt phẳng — tất cả các điểm nằm về một phía của đường. Khi có nhiều bất phương trình cùng lúc, ta có một hệ, và miền nghiệm của hệ là giao của mọi nửa mặt phẳng: phần mặt phẳng thoả mãn đồng thời tất cả các ràng buộc.
Các bước vẽ miền nghiệm
- Vẽ từng đường thẳng ax + by = c ứng với mỗi bất phương trình.
- Chọn điểm thử (thường là gốc O) và thay vào để biết lấy nửa mặt phẳng nào.
- Gạch bỏ phần không thoả mãn của mỗi bất phương trình.
- Phần còn lại chung cho mọi bất phương trình chính là miền nghiệm (thường là đa giác lồi).
Điểm thử hoạt động thế nào?
Đường thẳng chia mặt phẳng thành hai phía; mọi điểm cùng một phía đều cho cùng dấu của biểu thức ax + by − c. Vì thế chỉ cần thử một điểm bất kỳ không nằm trên đường: nếu nó thoả mãn bất phương trình thì cả nửa mặt phẳng chứa nó là nghiệm; nếu không, lấy nửa còn lại. Gốc O(0;0) thường là điểm thử tiện nhất.
Ứng dụng: bài toán tối ưu
Miền nghiệm chính là miền ràng buộc trong quy hoạch tuyến tính:
- 🏭 Sản xuất: giới hạn nguyên liệu, giờ máy → tìm phương án lợi nhuận cao nhất.
- 🥗 Dinh dưỡng: khẩu phần đủ chất với chi phí thấp nhất.
- 🚚 Vận tải, phân bổ nguồn lực trong kinh tế và kỹ thuật.
- 📈 Hàm mục tiêu tuyến tính luôn đạt cực trị tại một ĐỈNH của đa giác nghiệm.