Hằng đẳng thức hiệu hai lập phương
Hiệu hai lập phương là một hằng đẳng thức đáng nhớ quan trọng: a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²). Nó cho phép ta phân tích một hiệu hai lập phương thành tích, và ngược lại khai triển nhanh tích đó. Trò chơi 3D phía trên cho bạn thấy hằng đẳng thức này đúng chỉ bằng cách khoét và tách khối.
Ý tưởng: tách khối còn lại thành 3 hộp
Bắt đầu từ một khối lập phương cạnh a có thể tích a³. Khoét đi ở một góc một khối lập phương cạnh b có thể tích b³. Phần còn lại có thể tích đúng bằng a³ − b³ và có dạng hình chữ L ba chiều. Phần này tách gọn thành đúng ba khối hộp chữ nhật:
- Khối 1 — tấm dày (a − b) theo trục x, mặt vuông a × a: thể tích (a − b)·a·a = a²(a−b).
- Khối 2 — hộp kích thước b × (a − b) × a còn lại bên cạnh: thể tích (a − b)·b·a = ab(a−b).
- Khối 3 — hộp nhỏ nhất kích thước b × b × (a − b): thể tích (a − b)·b·b = b²(a−b).
- Cộng ba khối: (a−b)(a² + ab + b²). Mỗi khối đều có một cạnh là (a − b).
Vì sao thể tích được bảo toàn?
Vì khi khoét và tách, thể tích không thay đổi. Ta tính cùng một thể tích theo hai cách: phần còn lại của khối lập phương là a³ − b³, còn tổng ba khối hộp là (a − b)(a² + ab + b²). Hai cách phải cho cùng kết quả:
a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
Có thể kiểm tra bằng phép nhân khai triển: (a − b)(a² + ab + b²) = a³ + a²b + ab² − a²b − ab² − b³ = a³ − b³. Mọi số hạng trung gian triệt tiêu, chỉ còn a³ − b³. Hai cách — tách khối và nhân đa thức — đều dẫn tới cùng một hằng đẳng thức.
Câu hỏi thường gặp
Dùng để tính nhanh thế nào? Ví dụ 7³ − 2³ = (7 − 2)(7² + 7·2 + 2²) = 5 × 67 = 335, gom nhân tử thay vì lập phương từng số rồi trừ.
Dùng để phân tích đa thức thế nào? Ví dụ x³ − 8 = x³ − 2³ = (x − 2)(x² + 2x + 4). Bất kì hiệu hai lập phương nào cũng phân tích được như vậy.
Ứng dụng thực tế
Hằng đẳng thức hiệu hai lập phương xuất hiện ở nhiều nơi:
- 🧮 Tính nhẩm nhanh các hiệu lập phương như 10³ − 9³ = 271.
- 🔢 Phân tích đa thức bậc ba thành nhân tử khi giải phương trình.
- ➗ Rút gọn phân thức có tử hoặc mẫu là hiệu hai lập phương.
- 📦 Tính nhanh chênh lệch thể tích giữa hai khối lập phương lồng nhau.