Hoán vị vòng tròn (n−1)! — Game xoay bàn tròn trực quan

Q: Số cách xếp n người quanh bàn tròn là bao nhiêu?

Có (n−1)! cách xếp n người quanh một bàn tròn (khi chỉ quan tâm vị trí tương đối giữa các người). Ví dụ 4 người có 3! = 6 cách, 6 người có 5! = 120 cách.

Q: Vì sao bàn tròn là (n−1)! mà xếp hàng lại là n!?

Vì khi xoay cả bàn tròn đi 1, 2, …, n−1 ghế, vị trí tương đối giữa mọi người không đổi — vẫn là một cách xếp. Mỗi cách xếp bàn tròn tương ứng với đúng n cách xếp hàng, nên số cách bàn tròn = n!/n = (n−1)!.

Hoán vị vòng tròn là gì?

Trong chương Đại số tổ hợp của Toán lớp 10 — bộ sách Kết nối tri thức, ta biết số cách xếp n người thành một hàng là n! (n giai thừa). Nhưng khi xếp n người quanh một bàn tròn, câu trả lời lại là (n−1)! — nhỏ hơn đúng n lần. Sự khác biệt này khiến rất nhiều học sinh bối rối, và cách tốt nhất để hết bối rối là… tự tay xoay chiếc bàn trong trò chơi phía trên.

Ý tưởng trực quan: xoay bàn không tạo ra cách xếp mới

Ở bàn tròn, thứ duy nhất có ý nghĩa là vị trí tương đối: ai ngồi bên trái ai, ai ngồi bên phải ai. Không có ghế nào là "ghế số 1" cả. Hãy thử trong game:

Chọn số người, ví dụ n = 4 (các bạn A, B, C, D).
Nhìn dãy chữ đọc theo chiều kim đồng hồ bắt đầu từ mũi tên ▼ — đó chính là một cách xếp hàng.
Bấm "Xoay bàn 1 ghế": dãy đọc được đổi thành dãy khác (một cách xếp hàng khác!), nhưng quanh bàn thì A vẫn cạnh B, B vẫn cạnh C… không có gì thay đổi.
Xoay đủ n lần thì trở về ban đầu: bạn vừa thấy n cách xếp hàng khác nhau nhưng tất cả chỉ là một cách xếp bàn tròn.

Vì sao ra (n−1)!?

Mỗi cách xếp bàn tròn "nuốt" đúng n cách xếp hàng (ứng với n phép xoay). Vậy:

Số cách bàn tròn = n! ÷ n = (n−1)!

Một cách nghĩ khác rất gọn: hãy cố định một người (ví dụ bạn A) ngồi xuống trước — vì bàn tròn xoay được nên đặt A ở đâu cũng như nhau. Còn lại n−1 người xếp vào n−1 ghế theo một vòng đã "neo" bởi A, và đó là bài toán xếp hàng bình thường: có (n−1)! cách.

Với n = 4: xếp hàng có 4! = 24 cách, bàn tròn có 3! = 6 cách. Với n = 8: xếp hàng có 40 320 cách nhưng bàn tròn chỉ còn 5 040 cách.

Câu hỏi thường gặp

Số cách xếp n người quanh bàn tròn là bao nhiêu? Là (n−1)! khi chỉ quan tâm vị trí tương đối giữa các người. Ví dụ 4 người có 3! = 6 cách, 6 người có 5! = 120 cách.

Vì sao bàn tròn là (n−1)! mà xếp hàng lại là n!? Vì khi xoay cả bàn đi 1, 2, …, n−1 ghế, vị trí tương đối không đổi — vẫn là một cách xếp. Mỗi cách bàn tròn tương ứng đúng n cách xếp hàng, nên số cách bàn tròn = n!/n = (n−1)!.

Ứng dụng thực tế

Tư duy "chia cho số cách xoay" xuất hiện ở nhiều nơi:

🍽️ Xếp chỗ tiệc cưới, hội nghị bàn tròn: tính nhanh số sơ đồ chỗ ngồi thực sự khác nhau.
📿 Đếm số vòng tay, chuỗi hạt khác nhau khi xâu các hạt màu (còn phải chia thêm 2 nếu lật được vòng).
🧬 Sinh học phân tử: đếm cấu hình của plasmid — phân tử ADN dạng vòng.
🎡 Lập lịch thi đấu vòng tròn, sắp xếp cánh quạt, bố trí chi tiết máy quay quanh trục.

Hoán vị vòng tròn = (n−1)!