Hằng đẳng thức lập phương của một tổng
Lập phương của một tổng là một hằng đẳng thức đáng nhớ quan trọng: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³. Nó cho phép ta khai triển nhanh một tổng được nâng lên lũy thừa ba, và ngược lại nhận ra dạng lập phương để rút gọn. Trò chơi phía trên cho bạn thấy hằng đẳng thức này đúng chỉ bằng cách tách một khối lập phương 3D thành 8 khối nhỏ.
Ý tưởng: tách khối lập phương thành 8 phần
Hãy bắt đầu từ một khối lập phương cạnh (a + b) có thể tích (a + b)³. Cắt mỗi cạnh thành hai đoạn — một đoạn dài a và một đoạn dài b. Ba nhát cắt (mỗi nhát theo một hướng) chia khối lớn thành đúng 8 khối hộp nhỏ.
- Có 1 khối lập phương cạnh a (thể tích a³) ở góc — màu chàm.
- Có 3 khối hộp a×a×b (mỗi khối thể tích a²b) — màu lục lam. Ba khối vì có ba hướng đặt khối hộp dẹt này.
- Có 3 khối hộp a×b×b (mỗi khối thể tích ab²) — màu hổ phách. Ba khối vì có ba cạnh để khối hộp dài này nằm dọc theo.
- Có 1 khối lập phương cạnh b (thể tích b³) ở góc đối diện — màu hồng.
Vì sao bằng nhau?
Vì khi tách khối, tổng thể tích không thay đổi. Ta tính cùng một thể tích theo hai cách: khối lập phương lớn có thể tích (a + b)³, còn tổng 8 khối nhỏ là a³ + 3a²b + 3ab² + b³. Hai cách phải cho cùng kết quả:
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Có thể kiểm tra bằng phép nhân khai triển: (a + b)³ = (a + b)(a + b)² = (a + b)(a² + 2ab + b²) = a³ + 3a²b + 3ab² + b³. Hai cách — tách khối 3D và nhân đa thức — đều dẫn tới cùng một hằng đẳng thức.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao có hệ số 3? Vì khối hộp a²b có thể đặt theo 3 hướng khác nhau (dẹt theo trục x, y hoặc z), nên có 3 khối; tương tự khối ab² cũng có 3 khối. Đó chính là các hệ số 3 trong khai triển.
Công thức (a − b)³ thì sao? Tương tự nhưng đổi dấu xen kẽ: (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³.
Ứng dụng thực tế
Hằng đẳng thức lập phương của một tổng xuất hiện ở nhiều nơi:
- 🧮 Tính nhẩm nhanh lập phương như 21³ = (20 + 1)³ = 8000 + 1200 + 60 + 1 = 9261.
- 📦 Tính thể tích khi mở rộng một khối hộp lập phương thêm một lớp dày b.
- 🔢 Nhận dạng và rút gọn biểu thức chứa lập phương trong đại số.
- 📐 Là bậc 3 của tam giác Pascal — hệ số 1, 3, 3, 1 — nền tảng của nhị thức Newton.