Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng là gì?
Trong chương phương pháp toạ độ trong không gian của Toán lớp 12 — bộ sách Kết nối tri thức, khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ được định nghĩa là độ dài đoạn MH, với H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống Δ. Trong mọi đoạn nối M với một điểm của Δ, đoạn vuông góc MH luôn ngắn nhất — đó chính là "khoảng cách". Công thức tính nhanh là d(M,Δ) = |M₀M × u| / |u|, với M₀ là một điểm thuộc Δ và u là vectơ chỉ phương.
Ý tưởng trực quan: hình bình hành và chiều cao
Bí mật của công thức nằm ở tích có hướng. Dựng hình bình hành trên hai vectơ M₀M và u: độ lớn |M₀M × u| đúng bằng diện tích của hình bình hành đó. Nhưng diện tích hình bình hành cũng bằng đáy nhân chiều cao!
- Chọn điểm M₀ bất kỳ trên Δ và vectơ chỉ phương u — trong game là M₀(0;0;0) và u = (2;2;1).
- Kéo ba thanh trượt để di chuyển điểm M; vectơ M₀M thay đổi theo.
- Tính tích có hướng M₀M × u — game hiển thị ba thành phần của nó theo thời gian thực.
- Chia độ lớn của tích có hướng cho |u|: kết quả đúng bằng độ dài đoạn vuông góc MH màu đỏ trên hình.
Vì sao công thức đúng?
Xét hình bình hành dựng trên hai vectơ M₀M và u, lấy cạnh đáy nằm dọc theo Δ:
• Diện tích = |M₀M × u| (tính chất của tích có hướng)
• Diện tích = đáy × cao = |u| × d, trong đó d là khoảng cách từ M đến Δ
Cân bằng hai cách tính diện tích:
|M₀M × u| = |u| · d ⇒ d = |M₀M × u| / |u|
Điểm tinh tế: kết quả không phụ thuộc vào việc chọn M₀ nào trên Δ hay lấy vectơ chỉ phương dài ngắn ra sao — vì cả tử số lẫn mẫu số cùng co giãn theo. Bạn có thể kiểm chứng trong game: kéo M dọc theo phương của u thì d không đổi, vì M chỉ trượt song song với đường thẳng.
Câu hỏi thường gặp
Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong Oxyz tính bằng công thức nào? Cho Δ đi qua M₀ và có vectơ chỉ phương u, khoảng cách từ M đến Δ là d(M,Δ) = |M₀M × u| / |u|, với × là tích có hướng.
Vì sao công thức lại dùng tích có hướng? Vì |M₀M × u| là diện tích hình bình hành dựng trên hai vectơ, mà diện tích ấy cũng bằng đáy |u| nhân chiều cao — chiều cao chính là khoảng cách d cần tìm.
Ứng dụng thực tế
Bài toán "điểm cách đường thẳng bao xa" xuất hiện thường xuyên trong kỹ thuật:
- ✈️ Kiểm tra máy bay có bay đủ xa một tuyến cáp treo hay hành lang bay khác — tuyến bay được mô hình hoá là đường thẳng trong không gian.
- 🏗️ Tính khoảng cách an toàn từ cần cẩu (một điểm) đến đường dây điện cao thế căng thẳng giữa hai cột.
- 🤖 Cánh tay robot cần biết đầu kẹp cách trục ray dẫn hướng bao nhiêu để tránh va chạm.
- 🎮 Trong đồ hoạ game 3D, khoảng cách điểm–đường thẳng dùng để xét viên đạn bay sượt qua nhân vật hay trúng đích.