Mệnh đề là gì?
Mệnh đề là một câu khẳng định có tính đúng hoặc sai, nhưng không thể vừa đúng vừa sai. Ví dụ "5 là số nguyên tố" là mệnh đề đúng, "2 + 3 = 6" là mệnh đề sai. Câu hỏi hay câu cảm thán ("Hôm nay đẹp trời quá!") không phải mệnh đề vì không có giá trị đúng/sai xác định.
Phủ định ¬P — các bước
- Xác định giá trị của P là đúng (Đ) hay sai (S).
- Viết mệnh đề trái ngược ¬P (thường thêm "không" vào P).
- Đảo giá trị: P đúng thì ¬P sai, P sai thì ¬P đúng.
- Kiểm tra: P và ¬P luôn có giá trị ngược nhau, không bao giờ cùng đúng hay cùng sai.
Mệnh đề kéo theo và lượng từ
Mệnh đề kéo theo "P ⇒ Q" (nếu P thì Q) chỉ sai khi P đúng nhưng Q sai; mọi trường hợp còn lại đều đúng. Với lượng từ: "∀x, P(x)" (với mọi x, P(x)) đúng khi P(x) đúng với mọi x; "∃x, P(x)" (tồn tại x, P(x)) đúng khi có ít nhất một x làm P(x) đúng.
Vì sao đúng?
Phủ định của "với mọi" là "tồn tại phản ví dụ": nếu không phải mọi x đều thỏa P(x), thì phải có ít nhất một x làm P(x) sai — tức ∃x, ¬P(x). Ngược lại, phủ định của "tồn tại x thỏa P(x)" là "không x nào thỏa", tức với mọi x, ¬P(x). Đây là quy tắc chuyển ∀ ↔ ∃ khi lấy phủ định.
Ứng dụng thực tế
Logic mệnh đề là nền tảng của:
- 🧠 Chứng minh phản chứng và tìm phản ví dụ trong toán học.
- 💻 Điều kiện if/else và mạch logic trong lập trình, máy tính.
- ⚖️ Lập luận chặt chẽ trong luật, tranh biện và khoa học.
- 🔎 Diễn đạt chính xác định lý: điều kiện cần, điều kiện đủ.