Nguyên hàm là gì?
Cho hàm số f. Một hàm F được gọi là nguyên hàm của f nếu F'(x) = f(x). Nói cách khác, nguyên hàm đi ngược chiều với đạo hàm: đạo hàm biến F thành f, còn tìm nguyên hàm là đi từ f trở về F. Đó là lí do cách kiểm tra nhanh nhất luôn là đạo hàm ngược lại.
Bảng nguyên hàm cơ bản
| Hàm f(x) | Nguyên hàm ∫f(x) dx |
|---|---|
| xⁿ (n ≠ −1) | xⁿ⁺¹ / (n+1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| eˣ | eˣ + C |
| cos x | sin x + C |
| sin x | −cos x + C |
| 1/cos²x | tan x + C |
Vì sao có +C? Họ nguyên hàm
- Đạo hàm của hằng số bằng 0, nên nếu F là nguyên hàm thì F + C cũng là nguyên hàm.
- Vô số nguyên hàm khác nhau đúng một hằng số → gọi là họ nguyên hàm.
- Trên đồ thị, đổi C chỉ dịch đường cong lên hoặc xuống, không đổi độ dốc — nên đạo hàm (tức f) vẫn y nguyên.
Ứng dụng thực tế
Nguyên hàm là bước nền của tích phân, xuất hiện khi:
- 🚗 Từ vận tốc suy ra quãng đường, từ gia tốc suy ra vận tốc.
- 📐 Tính diện tích, thể tích qua tích phân xác định.
- 💧 Từ tốc độ dòng chảy suy ra lượng nước tích lũy.
- 💰 Từ biên chi phí/doanh thu suy ra tổng chi phí/doanh thu.