Nhân hai đa thức bằng mô hình diện tích
Để nhân hai đa thức, ta lấy mỗi hạng tử của đa thức này nhân với mỗi hạng tử của đa thức kia rồi cộng lại. Với hai nhị thức, mô hình diện tích (mô hình ô) làm điều đó trở nên trực quan: (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab.
Ý tưởng: chia hình chữ nhật thành 4 ô
Vẽ một hình chữ nhật có chiều rộng (x + a) và chiều cao (x + b). Chia mỗi cạnh theo hai phần, ta được 4 ô nhỏ, mỗi ô là một tích.
- Chiều rộng chia thành x và a; chiều cao chia thành x và b.
- Ô lớn là x · x = x².
- Hai ô chữ nhật là a · x = ax và x · b = bx.
- Ô nhỏ là a · b = ab. Cộng cả bốn: x² + ax + bx + ab.
Gộp hai hạng tử giữa
Hai ô ax và bx đều có thừa số x, nên cộng lại được (a + b)x. Vì thế:
(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
Đọc theo mô hình: hệ số của x là tổng a + b, còn số hạng tự do là tích a · b. Nhớ điều này giúp bạn nhẩm nhanh và cũng là chìa khóa để phân tích ngược x² + Sx + P thành (x + a)(x + b) với a + b = S, a·b = P.
Câu hỏi thường gặp
Nếu có dấu trừ thì sao? Coi (x − a) là (x + (−a)). Ví dụ (x − 3)(x + 2) = x² + (−3 + 2)x + (−3)(2) = x² − x − 6.
Liên hệ với hằng đẳng thức? Khi a = b, ta được (x + a)² = x² + 2ax + a²; khi b = −a, ta được (x + a)(x − a) = x² − a².
Ứng dụng thực tế
Nhân hai đa thức và mô hình ô xuất hiện ở nhiều nơi:
- 🧮 Tính nhanh 23 × 22 = (20+3)(20+2) = 400 + 100 + 6 = 506.
- 🧩 Phân tích tam thức x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3).
- 📐 Tính diện tích mảnh đất mở rộng thêm a và b mỗi chiều.
- ✖️ Nền tảng cho phép nhân đa thức nhiều hạng tử.