Lũy thừa và quy tắc nhân cùng cơ số
Trong Toán lớp 6 — bộ sách Kết nối tri thức, lũy thừa với số mũ tự nhiên được định nghĩa là phép nhân lặp: aⁿ = a · a · … · a (n thừa số a). Từ định nghĩa ấy sinh ra quy tắc quan trọng nhất của chương: khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Rất nhiều bạn nhầm thành "nhân số mũ" hoặc "cộng cơ số" — trò chơi này giúp em nhìn thấy tận mắt vì sao chỉ có cộng số mũ mới đúng.
Ý tưởng trực quan: nối hai dãy thừa số
Hãy coi mỗi thừa số a là một viên gạch. Khi đó lũy thừa chỉ là một dãy gạch, và phép nhân hai lũy thừa là trò nối gạch:
- Dãy thứ nhất có m viên — đó là aᵐ.
- Dãy thứ hai có n viên — đó là aⁿ.
- Dấu nhân giữa hai lũy thừa nghĩa là xếp hai dãy nối tiếp nhau thành một dãy dài.
- Đếm lại: dãy mới có m + n viên gạch, tức là aᵐ⁺ⁿ. Xong!
Vì sao không phải là nhân số mũ?
Viết hẳn các thừa số ra là thấy ngay:
2³ · 2² = (2·2·2) · (2·2) = 2·2·2·2·2 = 2⁵ = 32
Nếu "nhân số mũ" ta được 2⁶ = 64 — sai, vì chẳng có thừa số 2 thứ sáu nào cả. Nếu "cộng cơ số" ta được 4⁵ — càng sai, vì các viên gạch đều là số 2, không viên nào là số 4. Phép đếm thừa số chỉ cho một đáp án duy nhất: 3 viên + 2 viên = 5 viên, tức 2⁵. Quy tắc anh em của nó cũng ra đời cùng cách đếm ấy: khi chia hai lũy thừa cùng cơ số, ta bớt gạch đi, nên trừ số mũ: aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ.
Câu hỏi thường gặp
Cơ số khác nhau thì có cộng số mũ được không? Không. 2³ · 3² phải tính riêng từng lũy thừa (8 · 9 = 72) vì hai dãy gạch làm bằng "chất liệu" khác nhau, không thể gộp chung thành một lũy thừa.
a¹ và a⁰ bằng bao nhiêu? a¹ = a (một thừa số duy nhất). Còn a⁰ = 1 (với a ≠ 0) — quy ước này giữ cho quy tắc cộng số mũ luôn đúng: aⁿ · a⁰ = aⁿ⁺⁰ = aⁿ, nên a⁰ buộc phải bằng 1.
Ứng dụng thực tế
Cộng số mũ xuất hiện ở mọi nơi có phép nhân lặp:
- 🦠 Vi khuẩn nhân đôi mỗi giờ: sau 3 giờ gấp 2³, sau 2 giờ nữa gấp thêm 2² — tổng cộng gấp 2⁵ = 32 lần.
- 💾 Bộ nhớ máy tính: 1 KB = 2¹⁰ byte, 1 MB = 2¹⁰ KB = 2¹⁰·2¹⁰ = 2²⁰ byte.
- 💰 Lãi kép: gửi tiền lãi 10%/năm, sau m năm gấp 1,1ᵐ; thêm n năm nữa thành 1,1ᵐ⁺ⁿ.
- 📄 Gấp đôi tờ giấy m lần rồi n lần nữa: độ dày tăng 2ᵐ⁺ⁿ lần — gấp 42 lần là "chạm" tới Mặt Trăng!