Parabol theo tiêu điểm và đường chuẩn là gì?
Parabol là tập hợp tất cả các điểm M trong mặt phẳng cách đều một điểm cố định F (gọi là tiêu điểm) và một đường thẳng cố định Δ (gọi là đường chuẩn), với Δ không đi qua F. Nói cách khác, một điểm M thuộc parabol khi và chỉ khi MF = MH, trong đó H là hình chiếu vuông góc của M lên đường chuẩn.
Phương trình chính tắc
Chọn trục Ox là trục đối xứng, đỉnh trùng gốc O, ta được phương trình chính tắc y² = 2px (p > 0). Khi đó:
Tiêu điểm F(p/2; 0) · Đường chuẩn Δ: x = −p/2
Số p gọi là tham số tiêu, bằng đúng khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn.
Vì sao MF = MH?
- Điểm M(x; y) trên parabol có MH = x + p/2 (khoảng cách ngang tới đường chuẩn x = −p/2).
- MF² = (x − p/2)² + y². Thay y² = 2px vào: MF² = x² − px + p²/4 + 2px.
- Thu gọn: MF² = x² + px + p²/4 = (x + p/2)².
- Vậy MF = x + p/2 = MH. Đúng với mọi điểm M trên parabol.
Tính chất phản xạ tuyệt vời
Chính vì mọi điểm đều cách đều tiêu điểm và đường chuẩn, parabol có tính chất phản xạ: mọi tia song song với trục khi chạm mặt parabol đều phản xạ đi qua tiêu điểm (và ngược lại). Đó là lí do chảo vệ tinh, đèn pha ô tô, gương kính viễn vọng đều có dạng parabol.
Ứng dụng thực tế
Tiêu điểm – đường chuẩn của parabol xuất hiện khi:
- 📡 Chảo thu sóng vệ tinh, ăng-ten hội tụ sóng về tiêu điểm.
- 🔦 Đèn pha, đèn pin: nguồn sáng đặt ở tiêu điểm cho chùm song song.
- 🌉 Đường đi của vật ném xiên, dây cáp cầu treo có dạng parabol.
- ☀️ Bếp năng lượng mặt trời, kính viễn vọng phản xạ hội tụ ánh sáng.