Phép chiếu vuông góc là gì?
Trong chương quan hệ vuông góc của Toán lớp 11 — bộ sách Kết nối tri thức, phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P) là phép chiếu song song theo phương vuông góc với (P): từ mỗi điểm A ta hạ đoạn vuông góc xuống (P), chân đường vuông góc A′ gọi là hình chiếu của A. Hình chiếu của một hình là tập hợp hình chiếu của mọi điểm thuộc hình đó — chính là "cái bóng" khi nguồn sáng ở vô cùng và rọi thẳng đứng.
Ý tưởng trực quan: nghiêng que tính dưới nắng trưa
Cầm một que thẳng AB dưới ánh nắng đứng bóng và nghiêng nó dần từ nằm ngang đến dựng đứng, bạn sẽ thấy đủ mọi trạng thái của hình chiếu:
- Que nằm ngang (α = 0°): bóng A′B′ dài đúng bằng que — phép chiếu bảo toàn độ dài của các đoạn song song với (P).
- Que nghiêng dần: bóng ngắn lại theo đúng tỉ lệ cos α — ở 60° bóng chỉ còn một nửa.
- Que dựng đứng (α = 90°): cả que chiếu xuống đúng một điểm — bóng biến mất!
- Bấm nút đổi sang tam giác: diện tích bóng cũng co theo cùng hệ số cos α — quy luật áp dụng cho cả hình phẳng.
Vì sao bóng ngắn lại đúng cos α?
Đặt đoạn AB nghiêng góc α, chiếu xuống được A′B′. Xét tam giác vuông tạo bởi AB, đoạn thẳng đứng BB″ (độ chênh cao giữa hai đầu) và đoạn nằm ngang: cạnh nằm ngang chính là AB·cos α. Mà phép chiếu thẳng đứng giữ nguyên mọi khoảng cách theo phương ngang, nên A′B′ đúng bằng thành phần nằm ngang ấy:
A′B′ = AB·cos α
Từ đây cũng suy ra định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: đó là góc giữa đường thẳng và hình chiếu vuông góc của nó — tức góc α mà bạn đang kéo. Phép chiếu vuông góc còn là nền của định lý ba đường vuông góc và của cách tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ở các bài sau.
Lưu ý thú vị: phép chiếu vuông góc là trường hợp đặc biệt "đẹp nhất" của phép chiếu song song — nó không những giữ tính song song, tỉ số các đoạn thẳng cùng phương, mà còn cho công thức độ dài gọn gàng bằng cos α.
Câu hỏi thường gặp
Phép chiếu vuông góc là gì? Là phép chiếu song song theo phương vuông góc với mặt phẳng chiếu: mỗi điểm A cho hình chiếu A′ là chân đường vuông góc hạ từ A xuống (P) — như bóng vật dưới mặt trời đứng bóng.
Vì sao bóng của đoạn thẳng nghiêng ngắn hơn vật? Vì A′B′ = AB·cos α. Khi α = 0° bóng bằng vật; khi α = 90° cos α = 0 nên bóng thu về một điểm.
Phép chiếu vuông góc khác phép chiếu song song thường ở điểm nào? Chỉ khác phương chiếu: chiếu song song dùng phương bất kỳ (bóng nắng xiên), còn chiếu vuông góc dùng đúng phương vuông góc với mặt phẳng — nhờ đó có thêm các công thức độ dài, góc và khoảng cách.
Ứng dụng thực tế
Phép chiếu vuông góc có mặt trong rất nhiều lĩnh vực:
- 📐 Bản vẽ kỹ thuật: ba hình chiếu đứng – bằng – cạnh của một chi tiết máy đều là các phép chiếu vuông góc lên ba mặt phẳng.
- 🗺 Bản đồ và GPS: vị trí của bạn trên bản đồ là hình chiếu vuông góc của vị trí thật (có cả độ cao) xuống mặt phẳng bản đồ.
- ☀️ Tấm pin mặt trời: công suất tỉ lệ với cos của góc lệch tia nắng — cùng công thức cos α của cái bóng, nên pin phải xoay theo mặt trời.
- 🏀 Trọng tài xác định điểm rơi của bóng trên vạch sân bằng cách nhìn thẳng từ trên xuống — chính là lấy hình chiếu vuông góc.