Phương trình a·sinx + b·cosx = c

Gộp hai sóng sin và cos thành một sóng duy nhất R·sin(x+φ). Nghiệm chính là giao điểm của đường ngang y=c với sóng đó. Kéo a, b, c để xem.

R·sin(x + φ) = c Có nghiệm

💡 Biên độ sóng gộp là R=√(a²+b²). Đường y=c chỉ cắt được sóng khi |c|≤R — đó chính là điều kiện có nghiệm.

Thấy hay? Chia sẻ cho bạn bè: f Facebook 𝕏 X

Ý tưởng: gộp hai sóng thành một

Phương trình a·sinx + b·cosx = c trông rắc rối vì có cả sin lẫn cos. Nhưng tổng của một sóng sin và một sóng cos cùng chu kỳ vẫn là một sóng hình sin duy nhất. Ta viết được a·sinx + b·cosx = R·sin(x + φ), trong đó biên độ mới là R = √(a² + b²).

Các bước giải

  1. Tính R = √(a² + b²) — biên độ của sóng gộp.
  2. Chọn góc φ sao cho cos φ = a/R và sin φ = b/R.
  3. Đưa về R·sin(x + φ) = c, tức sin(x + φ) = c/R.
  4. Giải sin cơ bản: x + φ = arcsin(c/R) + k2π hoặc x + φ = π − arcsin(c/R) + k2π.

Vì sao điều kiện có nghiệm là |c| ≤ R

Sóng R·sin(x + φ) chỉ dao động giữa −R và R. Đường nằm ngang y = c chỉ cắt được sóng khi nó nằm trong dải đó, nghĩa là |c| ≤ R hay tương đương a² + b² ≥ c². Nếu |c| > R, đường y=c bay khỏi sóng — không có giao điểm nên phương trình vô nghiệm.

Ứng dụng thực tế

Việc gộp sóng sin và cos xuất hiện khi:

Khám phá thêm