Mặt cầu trong không gian Oxyz
Trong không gian toạ độ Oxyz, mặt cầu là tập hợp mọi điểm M cách một điểm cố định I (gọi là tâm) một khoảng không đổi R (gọi là bán kính). Điều kiện IM = R viết bằng công thức khoảng cách cho ngay phương trình mặt cầu.
Hai dạng phương trình
- Dạng chính tắc: mặt cầu tâm I(a; b; c) bán kính R là (x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=R².
- Khai triển các bình phương và gom hằng số: x²+y²+z²−2ax−2by−2cz+d=0 với d = a²+b²+c²−R².
- Đọc ngược lại: tâm I(a; b; c) lấy từ nửa các hệ số của x, y, z; bán kính R=√(a²+b²+c²−d).
- Điều kiện là mặt cầu: phải có a²+b²+c²−d > 0 thì R mới là số dương thực sự.
Vì sao đúng?
Khoảng cách từ M(x; y; z) tới I(a; b; c) là IM = √[(x−a)²+(y−b)²+(z−c)²]. Điều kiện M thuộc mặt cầu là IM = R, bình phương hai vế cho ngay dạng chính tắc (x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=R². Nếu ta khai triển (x−a)² = x²−2ax+a² và làm tương tự với y, z rồi chuyển R² sang trái, các số hạng a², b², c², −R² gộp thành một hằng số d = a²+b²+c²−R². Đó chính là lí do dạng khai triển có ba số hạng bậc hai x²+y²+z² với hệ số 1 giống nhau, và −2a, −2b, −2c là hệ số bậc nhất. Nói cách khác, khi thấy một phương trình mà cả ba biến đều có hệ số bậc hai bằng nhau và không có số hạng chéo xy, yz, zx thì đó là dấu hiệu của một mặt cầu; ta chỉ cần lấy nửa hệ số bậc nhất (đổi dấu) làm toạ độ tâm rồi tính bán kính. Trong game, khi bạn kéo R lớn lên thì d giảm; nếu a²+b²+c²−d ≤ 0 thì không còn mặt cầu.
Câu hỏi thường gặp
Phương trình mặt cầu trong Oxyz viết thế nào? Mặt cầu tâm I(a; b; c) bán kính R là (x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=R² — tập các điểm cách I đúng R.
Từ dạng khai triển tìm tâm và bán kính thế nào? x²+y²+z²−2ax−2by−2cz+d=0 là mặt cầu khi a²+b²+c²−d > 0; tâm I(a; b; c), bán kính R=√(a²+b²+c²−d).
Ứng dụng thực tế
Phương trình mặt cầu được dùng khi:
- 🛰️ Định vị GPS: mỗi vệ tinh cho một mặt cầu, giao chúng ra vị trí máy thu.
- 📡 Vùng phủ sóng, tầm phát của một trạm phát trong không gian.
- 🎮 Va chạm hình cầu (collision) trong đồ hoạ 3D và game.
- 📐 Xét vị trí tương đối của mặt cầu với điểm, mặt phẳng, đường thẳng.