Phương trình mặt phẳng là gì?
Trong không gian tọa độ Oxyz, một mặt phẳng được xác định hoàn toàn bởi một điểm mà nó đi qua và một hướng vuông góc với nó. Hướng vuông góc ấy được mô tả bằng vectơ pháp tuyến n=(A,B,C). Với điểm M₀(x₀,y₀,z₀) cho trước, mọi điểm M(x,y,z) nằm trên mặt phẳng khi và chỉ khi vectơ M₀M vuông góc với n, tức là tích vô hướng của chúng bằng 0.
Các bước lập phương trình
- Xác định vectơ pháp tuyến n=(A,B,C) — hướng vuông góc với mặt phẳng.
- Chọn một điểm M₀(x₀,y₀,z₀) thuộc mặt phẳng.
- Viết dạng điểm–pháp tuyến: A(x−x₀)+B(y−y₀)+C(z−z₀)=0.
- Khai triển để đưa về dạng tổng quát Ax+By+Cz+D=0 với D=−(Ax₀+By₀+Cz₀).
Vì sao công thức này đúng?
Điểm M nằm trên mặt phẳng ⇔ vectơ M₀M=(x−x₀, y−y₀, z−z₀) nằm trong mặt phẳng ⇔ M₀M vuông góc với vectơ pháp tuyến n. Tích vô hướng n·M₀M = A(x−x₀)+B(y−y₀)+C(z−z₀) = 0. Khai triển ra: Ax+By+Cz − (Ax₀+By₀+Cz₀) = 0, đặt D=−(Ax₀+By₀+Cz₀) ta được Ax+By+Cz+D=0. Chính vì thế các hệ số A, B, C của phương trình luôn cho ta ngay tọa độ vectơ pháp tuyến.
Ứng dụng thực tế
Phương trình mặt phẳng dùng để:
- 📐 Tính khoảng cách, góc giữa các mặt phẳng và đường thẳng.
- 🖥️ Đồ họa 3D, dựng hình khối, kiểm tra va chạm trong game và mô phỏng.
- ✈️ Định vị vệ tinh, tính mặt cắt trong kiến trúc và cơ khí.
- 🧭 Xác định vị trí tương đối: điểm nằm phía nào của một bức tường ảo.