Nghiệm là giao điểm của hai đồ thị
Giải phương trình aˣ = m nghĩa là tìm x sao cho giá trị hàm mũ y=aˣ đúng bằng m. Trên đồ thị, đó là hoành độ giao điểm giữa đường cong y=aˣ và đường thẳng ngang y=m. Vì hàm mũ đơn điệu (luôn tăng khi a>1), hai đồ thị cắt nhau nhiều nhất một điểm nên nghiệm là duy nhất.
Mũ và logarit là hai phép ngược nhau
Từ aˣ = m lấy logarit cơ số a hai vế được x = logₐm. Ngược lại, giải logₐx = m ta mũ hóa hai vế: x = aᵐ. Đồ thị y=aˣ và y=logₐx đối xứng nhau qua đường thẳng y=x — bấm nút chuyển để thấy rõ.
- Điều kiện: cơ số a>0, a≠1. Với logarit còn cần đối số dương.
- aˣ=m có nghiệm khi m>0; nghiệm là x=logₐm.
- logₐx=m luôn có nghiệm x=aᵐ>0 với mọi m thực.
- Kiểm tra lại nghiệm với điều kiện xác định trước khi kết luận.
Đưa về cùng cơ số
Cách giải phổ biến nhất: viết hai vế thành lũy thừa cùng cơ số. Ví dụ 2ˣ = 8 viết thành 2ˣ = 2³; vì hàm mũ đơn điệu nên x = 3. Tổng quát, từ a^(f(x)) = a^(g(x)) suy ra f(x) = g(x). Với logarit: từ logₐf(x) = logₐg(x) suy ra f(x) = g(x) (kèm điều kiện xác định).
Ứng dụng thực tế
Phương trình mũ và logarit dùng để:
- 💰 Tính thời gian gấp đôi vốn khi gửi tiết kiệm lãi kép.
- ☢️ Tìm chu kỳ bán rã, tuổi cổ vật bằng carbon phóng xạ.
- 🦠 Mô hình tăng trưởng dân số, vi khuẩn, lan truyền dịch.
- 🔊 Thang đo logarit: decibel âm thanh, độ pH, độ Richter.