Phương trình tổng quát của đường thẳng là gì?
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi đường thẳng có thể viết dưới dạng phương trình tổng quát: ax + by + c = 0, trong đó a và b không đồng thời bằng 0. Điểm đặc biệt của dạng này là bộ hệ số (a; b) cho ta ngay một vectơ pháp tuyến n=(a;b) — vectơ có giá vuông góc với đường thẳng. Chính vì thế, chỉ cần biết một vectơ pháp tuyến và một điểm mà đường thẳng đi qua là ta viết được phương trình.
Vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương
Vectơ pháp tuyến n=(a;b) vuông góc với đường thẳng. Vectơ chỉ phương u lại cùng phương (song song) với đường thẳng, nên u vuông góc với n. Từ n=(a;b), một vectơ chỉ phương là u=(−b;a), vì tích vô hướng n·u = a·(−b) + b·a = 0. Xoay n một góc 90° ta được u.
Các bước viết phương trình
- Xác định vectơ pháp tuyến n=(a; b) của đường thẳng.
- Chọn một điểm M₀(x₀; y₀) mà đường thẳng đi qua.
- Viết a(x − x₀) + b(y − y₀) = 0.
- Khai triển và thu gọn về dạng ax + by + c = 0, với c = −(a·x₀ + b·y₀).
Vì sao (a; b) vuông góc với đường thẳng?
Lấy hai điểm M(x; y) và M₀(x₀; y₀) bất kỳ trên đường thẳng. Vectơ M₀M = (x − x₀; y − y₀) nằm dọc theo đường thẳng. Vì cả hai điểm đều thỏa ax + by + c = 0, trừ vế theo vế ta được a(x − x₀) + b(y − y₀) = 0, tức là n·M₀M = 0. Tích vô hướng bằng 0 nghĩa là n vuông góc với M₀M — vuông góc với mọi vectơ chỉ phương, nên n vuông góc với đường thẳng.
Ứng dụng thực tế
Phương trình tổng quát của đường thẳng dùng để:
- 📐 Tính nhanh khoảng cách từ điểm đến đường thẳng (dùng chính a, b, c).
- 🧭 Kiểm tra hai đường thẳng song song hay vuông góc qua vectơ pháp tuyến.
- 🖥️ Đồ họa máy tính, cắt tỉa đa giác, xác định điểm nằm phía nào của đường.
- 🤖 Học máy: siêu phẳng phân lớp cũng là "đường thẳng" ax+by+c=0.