Bốn hàm số lượng giác là gì?
Trên vòng tròn đơn vị (bán kính 1, tâm tại gốc tọa độ), lấy điểm ứng với góc θ. Khi đó cả bốn hàm số lượng giác đều là những đoạn thẳng cụ thể — không còn trừu tượng nữa:
- sin θ = tung độ (chiều cao) của điểm — đoạn thẳng đứng từ điểm xuống trục hoành.
- cos θ = hoành độ (hình chiếu ngang) của điểm — đoạn nằm ngang từ tâm.
- tan θ = sin θ / cos θ = đoạn trên đường tiếp tuyến đứng x = 1, nơi tia từ tâm qua điểm kéo dài cắt nó.
- cot θ = cos θ / sin θ = đoạn trên đường tiếp tuyến ngang y = 1, nơi tia đó cắt đường này.
Quan hệ giữa bốn hàm
Hai hàm tan và cot được suy ra từ sin và cos:
- tan θ = sin θ ÷ cos θ (chỉ xác định khi cos θ ≠ 0).
- cot θ = cos θ ÷ sin θ (chỉ xác định khi sin θ ≠ 0).
- Vì vậy cot θ = 1 / tan θ — chúng là nghịch đảo của nhau.
- Và luôn có sin²θ + cos²θ = 1 (định lý Pythagoras trên vòng tròn).
Vì sao tan, cot lại “vô cực”?
Khi cos θ = 0 (θ = 90° hoặc 270°), mẫu số của tan bằng 0 nên tan θ không xác định — trên hình, tia song song với đường tiếp tuyến đứng nên không cắt nó. Tương tự, khi sin θ = 0 (θ = 0° hoặc 180°) thì cot θ không xác định.
tan θ = sin θ / cos θ, cot θ = cos θ / sin θ = 1 / tan θ
Dấu của mỗi hàm thay đổi theo góc phần tư: sin dương khi điểm ở nửa trên, cos dương khi ở nửa phải; tan và cot dương khi sin và cos cùng dấu (góc phần tư I và III).
Câu hỏi thường gặp
“tan” và “cot” nghĩa là gì? tan viết tắt của tangent (đường tiếp tuyến), cot là cotangent. Đúng như tên gọi, chúng được đo trên các đường tiếp tuyến của vòng tròn.
Còn sec và csc? Đó là sec θ = 1/cos θ và csc θ = 1/sin θ — hai hàm nghịch đảo còn lại, ít gặp ở chương trình phổ thông Việt Nam.
Ứng dụng thực tế
Bốn hàm lượng giác xuất hiện khắp nơi trong kỹ thuật và đời sống:
- 📐 tan của góc = độ dốc (mái nhà, đường, dốc) = lên trên / sang ngang.
- 🏔️ Đo chiều cao tòa nhà, ngọn núi từ góc nhìn và khoảng cách (tan θ).
- 🌊 sin, cos mô tả dao động, sóng âm, dòng điện xoay chiều.
- 🛰️ Định vị, dẫn đường, đồ họa 3D và robot đều dùng hàm lượng giác.