Khối tròn xoay là gì?
Khi cho một miền phẳng — giới hạn bởi đồ thị y=f(x), trục Ox và hai đường thẳng x=a, x=b — quay trọn một vòng quanh trục Ox, ta thu được một vật thể ba chiều gọi là khối tròn xoay. Cốc nước, cái chén, quả bóng bầu dục, chiếc bình hoa… đều là khối tròn xoay.
Ý tưởng: cắt thành các đĩa mỏng
Hãy tưởng tượng cắt khối bằng những nhát dao vuông góc với trục Ox. Mỗi lát cắt là một hình tròn bán kính bằng f(x) tại vị trí đó, nên diện tích lát cắt là π·f(x)². Nếu lát dày Δx rất mỏng, mỗi lát gần như một đĩa trụ có thể tích π·f(x)²·Δx.
Các bước tính thể tích
- Xác định bán kính mỗi lát: R = f(x).
- Diện tích đĩa: π·f(x)²; thể tích một đĩa mỏng: π·f(x)²·Δx.
- Cộng tất cả các đĩa từ x=a đến x=b (tổng Riemann).
- Cho Δx→0, tổng trở thành tích phân: V = π∫ab f(x)² dx.
Vì sao lại bình phương f(x)?
Vì mỗi lát cắt là hình tròn chứ không phải đoạn thẳng. Diện tích hình tròn tỉ lệ với bình phương bán kính: S = πR². Bán kính chính là chiều cao f(x) của đồ thị, nên diện tích đĩa là π·f(x)². Chính chữ "bình phương" này giải thích vì sao thể tích khối tròn xoay khác hẳn diện tích miền phẳng ban đầu.
Ứng dụng thực tế
Thể tích khối tròn xoay xuất hiện khi:
- 🏺 Tính dung tích bình, cốc, lọ, chai có dạng tròn xoay.
- ⚙️ Thiết kế trục máy, con lăn, bánh xe, chi tiết tiện.
- 🚀 Tính thể tích thân tên lửa, cánh máy bay, thân tàu.
- 🩺 Ước lượng thể tích cơ quan, khối u từ ảnh chụp cắt lớp.