Thước loga — Lôgarit biến phép nhân thành phép cộng

Q: Vì sao log(a·b) = log a + log b?

Đặt log a = m và log b = n, tức là a = 10^m và b = 10^n. Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, số mũ cộng lại: a·b = 10^m · 10^n = 10^(m+n). Do đó log(a·b) = m + n = log a + log b. Lôgarit “dịch” phép nhân của các số thành phép cộng của các số mũ.

Lôgarit là gì và vì sao nhân biến thành cộng?

Lôgarit thập phân của một số dương x, ký hiệu log x, là số mũ cần đặt lên 10 để được x: nếu 10^m = x thì log x = m. Trong chương trình Toán lớp 11 — bộ sách Kết nối tri thức, ta học tính chất quan trọng nhất của lôgarit: log(a·b) = log a + log b. Lý do rất gọn: a = 10^m, b = 10ⁿ thì a·b = 10^m+n — nhân hai lũy thừa cùng cơ số thì số mũ cộng lại. Lôgarit chính là chiếc “máy dịch” biến thế giới phép nhân thành thế giới phép cộng.

Ý tưởng của trò chơi: thước loga

Trò chơi mô phỏng thước loga (slide rule) — dụng cụ tính huyền thoại gồm hai thước trượt trên nhau. Điểm mấu chốt: các vạch số 1, 2, 3,… 10 trên thước không cách đều nhau, mà được đặt sao cho khoảng cách từ số 1 đến số x đúng bằng log x (nhân với chiều dài thước). Vì thế đoạn từ 1 đến 2 dài bằng đoạn từ 2 đến 4, và bằng đoạn từ 4 đến 8 — mỗi lần “nhân đôi” là một bước dài như nhau. Khi hai đoạn log a và log b được nối tiếp nhau trên thước, tổng độ dài của chúng là log(a·b), và con số đứng ở vị trí đó chính là tích a·b.

Kéo thanh trượt a (hoặc kéo trực tiếp thước trên): số 1 của thước trên C sẽ nằm ngay phía trên số a của thước dưới D.
Kéo thanh trượt b: vạch đỏ di chuyển đến số b trên thước trên C.
Nhìn xuống thước dưới D tại vạch đỏ — con số ở đó chính là tích a·b, không cần bấm máy!
Quan sát hai đoạn màu bên dưới: đoạn xanh cyan dài log a, đoạn xanh lá dài log b — nối lại vừa khít bằng đoạn log(a·b). Cộng độ dài = nhân con số.

Vì sao thước loga nhân được hai số?

Gọi chiều dài chuẩn của thước là L. Trên thước dưới D, số x nằm cách đầu thước một đoạn L·log x. Khi ta đặt số 1 của thước trên C lên trên số a của thước dưới, cả thước trên đã bị đẩy sang phải một đoạn L·log a.

Bây giờ số b của thước trên nằm cách đầu thước dưới một đoạn: L·log a + L·log b = L·(log a + log b) = L·log(a·b).

đoạn log a + đoạn log b = đoạn log(a·b) ⇒ đọc được ngay a × b

Mà vị trí L·log(a·b) trên thước dưới lại được in sẵn con số a·b. Vậy chỉ cần trượt thước rồi đọc số — phép nhân đã được “giấu” vào phép cộng hai đoạn thẳng. Đây chính là khoảnh khắc “à ha”: trên thang lôgarit, cộng độ dài nghĩa là nhân con số. Chia thì ngược lại: trừ hai đoạn thẳng. Đó là cách kỹ sư, phi công và nhà khoa học đã tính toán suốt hơn 300 năm — từ thời Newton cho đến tận chương trình Apollo.

Câu hỏi thường gặp

Thước loga là gì và dùng để làm gì? Thước loga (slide rule) là dụng cụ tính gồm hai thước chia theo thang lôgarit trượt trên nhau. Vì trên thang lôgarit độ dài từ 1 đến x bằng log x, nên ghép hai đoạn log a và log b nối tiếp nhau ta được đoạn log a + log b = log(a·b) — tức là đọc ngay được tích a·b. Kỹ sư đã dùng nó để nhân, chia, tính lũy thừa suốt hơn 300 năm trước khi có máy tính.

Vì sao log(a·b) = log a + log b? Đặt log a = m và log b = n, tức là a = 10^m và b = 10ⁿ. Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, số mũ cộng lại: a·b = 10^m·10ⁿ = 10^m+n. Do đó log(a·b) = m + n = log a + log b. Lôgarit “dịch” phép nhân của các số thành phép cộng của các số mũ.

Ứng dụng thực tế

Ý tưởng “nhân thành cộng” của lôgarit vẫn sống khỏe quanh ta:

🚀 Kỹ sư NASA thời Apollo mang thước loga lên cả tàu vũ trụ — Buzz Aldrin dùng một chiếc Pickett N600 trên chuyến bay lên Mặt Trăng.
🎚️ Đơn vị decibel (âm thanh) và độ Richter (động đất) đều là thang lôgarit: tăng thêm vài đơn vị nghĩa là nhân cường độ lên nhiều lần.
📈 Biểu đồ giá cổ phiếu, dân số, dịch bệnh thường vẽ theo trục log: tăng trưởng theo phần trăm đều nhau hiện ra thành đường thẳng.
🧪 Độ pH trong hóa học là −log của nồng độ ion H⁺: pH giảm 1 đơn vị nghĩa là axit mạnh gấp 10 lần.

Thước loga: nhân bằng cách… cộng