Đổi biến số là gì?
Nhiều tích phân trông rất khó nếu tính trực tiếp, nhưng lại rất dễ nếu ta đặt một biến mới. Ý tưởng của phương pháp đổi biến số là chọn t = u(x) sao cho đạo hàm u′(x) vừa khớp với phần còn lại của biểu thức. Khi đó dt = u′(x)dx, ta thay toàn bộ về theo t và thu được một tích phân đơn giản.
Các bước đổi biến
- Chọn phép đặt t = u(x) — thường là biểu thức bên trong, có đạo hàm xuất hiện sẵn.
- Tính vi phân dt = u′(x)dx, rồi thay dx và các biểu thức chứa x bằng t.
- Đổi cận (với tích phân xác định): x=a → t=u(a), x=b → t=u(b).
- Tính tích phân theo t đã đơn giản, rồi (nếu là tích phân bất định) trả lại biến x.
Ví dụ mẫu
Xét ∫ 2x·(x²+1)³ dx. Đặt t = x²+1 ⟹ dt = 2x·dx. Phần 2x·dx trong tích phân chính là dt, nên tích phân trở thành ∫ t³ dt = t⁴/4 + C = (x²+1)⁴/4 + C. Một biểu thức tưởng rối lại chỉ là lũy thừa bậc ba của t.
Vì sao diện tích được bảo toàn?
Phép đổi biến không làm mất hay thêm diện tích: nó chỉ "kéo giãn" trục hoành. Thừa số u′(x) đúng bằng hệ số giãn của trục, nên khi nhân vào, tổng diện tích các dải nhỏ theo x bằng đúng tổng diện tích theo t. Trong game, hãy kéo cận a, b và bấm chuyển giữa hai cách nhìn: giá trị tích phân I luôn giữ nguyên.
Ứng dụng thực tế
Đổi biến số là công cụ nền tảng, xuất hiện khi:
- 🧮 Tính tích phân trong vật lí: công, quãng đường, thông lượng.
- 📈 Đổi biến trong xác suất để tìm phân phối của hàm của biến ngẫu nhiên.
- 🌀 Chuyển sang tọa độ cực/cầu để tính tích phân bội dễ hơn.
- ⚙️ Giải phương trình vi phân bằng cách tách biến rồi lấy tích phân.