Tiệm cận là gì?
Tiệm cận của một đồ thị là đường thẳng mà đồ thị áp sát (tiến lại gần vô hạn nhưng thường không chạm) khi biến hoặc giá trị hàm tiến ra vô cực. Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất y = (ax+b)/(cx+d) (với c ≠ 0 và ad − bc ≠ 0) có hai tiệm cận: một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang.
Tiệm cận đứng: nơi mẫu bằng 0
Tiệm cận đứng là đường thẳng đứng x = x₀ mà đồ thị áp sát khi giá trị hàm số vọt ra vô cực. Với hàm phân thức, điều đó xảy ra khi mẫu số bằng 0:
- Giải phương trình mẫu = 0: cx + d = 0 ⟹ x = −d/c.
- Tại x = −d/c, tử số khác 0 nên phân thức có dạng (số hữu hạn)/(số → 0), giá trị tiến ra ±∞.
- Đồ thị vọt lên +∞ hoặc xuống −∞, áp sát đường x = −d/c — đó là tiệm cận đứng.
- Trong game, cho điểm chạy tiến tới x = −d/c để thấy đồ thị "leo dọc" theo đường màu hồng.
Tiệm cận ngang: khi x ra vô cực
Tiệm cận ngang là đường nằm ngang y = y₀ mà đồ thị áp sát khi x tiến ra ±∞. Chia cả tử và mẫu cho x: y = (a + b/x)/(c + d/x). Khi x → ±∞ thì b/x và d/x tiến về 0, nên y tiến về y = a/c. Đó chính là tiệm cận ngang. Bấm "Cho điểm ra xa" trong game để thấy giá trị hàm số ép sát dần đường màu xanh y = a/c.
Câu hỏi thường gặp
Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là gì? Tiệm cận đứng x = x₀ là đường đồ thị áp sát khi giá trị hàm ra vô cực (với y=(ax+b)/(cx+d) là x = −d/c). Tiệm cận ngang y = y₀ là đường đồ thị áp sát khi x ra vô cực (ở đây y = a/c).
Vì sao tiệm cận đứng nằm nơi mẫu bằng 0? Khi x tiến tới giá trị làm mẫu = 0 mà tử khác 0, phân thức là (hữu hạn)/(→0) nên hàm số tiến ra vô cực; đồ thị áp sát đường x = −d/c.
Ứng dụng thực tế
Tiệm cận mô tả xu hướng dài hạn và giới hạn của nhiều hiện tượng:
- 💊 Dược học: nồng độ thuốc trong máu tiến về một mức ổn định (tiệm cận ngang).
- 📈 Kinh tế: chi phí trung bình giảm dần về một giá trị giới hạn khi sản lượng lớn.
- ⚡ Vật lí: điện trở, mạch RC tiến tới giá trị bão hoà theo thời gian.
- 🧮 Khảo sát hàm số: vẽ tiệm cận là bước bắt buộc để dựng đúng đồ thị phân thức.