Công thức tổng 1 + 2 + … + n
Tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến n được tính bằng công thức 1 + 2 + … + n = n(n+1)/2. Tương truyền nhà toán học Gauss đã tìm ra nó từ khi còn là học sinh tiểu học để tính nhanh tổng 1 đến 100. Trò chơi phía trên cho bạn thấy công thức này đúng chỉ bằng cách ghép hình.
Ý tưởng: xếp bậc thang thành hình chữ nhật
Hãy biểu diễn tổng bằng một bậc thang ô vuông: hàng 1 có 1 ô, hàng 2 có 2 ô, …, hàng n có n ô. Tổng số ô của bậc thang chính là 1 + 2 + … + n. Bây giờ lấy một bản sao của bậc thang, xoay 180° và ghép vào.
- Hai bậc thang khớp nhau tạo thành một hình chữ nhật.
- Hình chữ nhật có n hàng và (n+1) cột.
- Tổng số ô của hình chữ nhật = n × (n+1).
- Hình chữ nhật gồm đúng hai bậc thang bằng nhau.
Vì sao chia 2?
Vì hình chữ nhật được tạo từ hai bậc thang giống hệt nhau, nên một bậc thang — chính là tổng cần tìm — chỉ bằng một nửa số ô của hình chữ nhật:
1 + 2 + … + n = n(n+1) / 2
Cách của Gauss thực chất cũng vậy: ghép cặp số đầu với số cuối (1 + n), (2 + (n−1))… mỗi cặp đều bằng (n+1), và có n/2 cặp, nên tổng = n(n+1)/2.
Câu hỏi thường gặp
Tổng 1 đến 100 bằng bao nhiêu? Thay n = 100: 100×101/2 = 5050.
Các số n(n+1)/2 gọi là gì? Chúng được gọi là “số tam giác” (1, 3, 6, 10, 15, …) vì có thể xếp thành hình tam giác đều bằng các chấm.
Ứng dụng thực tế
Công thức tổng 1 đến n xuất hiện ở nhiều nơi:
- 🧮 Tính nhanh tổng dài như 1 + 2 + … + 1000 mà không cần cộng từng số.
- 🏟️ Tính tổng số ghế của khán đài khi mỗi hàng tăng dần đều một số ghế.
- 💰 Tính tổng tiền tiết kiệm khi mỗi tháng góp tăng đều (cấp số cộng).
- 💻 Lập trình: số lần so sánh của vòng lặp lồng nhau ≈ n(n+1)/2 → độ phức tạp O(n²).