Cấp số nhân lùi vô hạn là gì?
Một cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn có công bội q thoả mãn |q| < 1. Vì mỗi số hạng bằng số hạng trước nhân với q (một số có trị tuyệt đối nhỏ hơn 1), nên các số hạng ngày càng nhỏ dần về 0. Điều kỳ diệu là: cộng vô số số hạng như thế lại cho một tổng hữu hạn.
Công thức tổng
Với u₁ là số hạng đầu và |q| < 1, tổng vô hạn bằng:
S = u₁ + u₁q + u₁q² + … = u₁ / (1 − q)
Ví dụ quen thuộc: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1 / (1 − 1/2) = 2. Trong game, thanh dưới cùng dài đúng bằng S; mỗi số hạng mới lấp thêm một mảnh, và các mảnh lấp mãi cũng chỉ vừa khít S chứ không tràn.
Các bước
- Tổng riêng của n số hạng đầu: Sₙ = u₁(1 − qⁿ)/(1 − q).
- Cho n → ∞: nếu |q| < 1 thì qⁿ tiến về 0.
- Thế qⁿ ≈ 0 vào công thức: Sₙ tiến về u₁(1 − 0)/(1 − q) = u₁/(1 − q).
- Kết luận: tổng vô hạn S = u₁/(1 − q).
Vì sao chỉ hội tụ khi |q| < 1?
Tất cả nằm ở hạng tử qⁿ. Khi |q| < 1, lũy thừa qⁿ co về 0, phần "còn thiếu" của tổng nhỏ dần đến mức không đáng kể, nên Sₙ ổn định về S. Nhưng nếu |q| ≥ 1 thì qⁿ không giảm về 0: khi |q| = 1 các số hạng giữ nguyên độ lớn (cộng mãi ra vô hạn hoặc dao động), khi |q| > 1 các số hạng còn phình to. Trong cả hai trường hợp, tổng vô hạn không tồn tại hữu hạn — trong game bạn sẽ thấy thanh tràn ra ngoài và ô S báo không hội tụ.
Ví dụ 0,999… = 1
Số thập phân 0,999… chính là tổng cấp số nhân lùi vô hạn 0,9 + 0,09 + 0,009 + … với u₁ = 0,9 và công bội q = 0,1. Vì |q| = 0,1 < 1 nên tổng hội tụ và bằng S = 0,9 / (1 − 0,1) = 0,9 / 0,9 = 1. Đây là lời giải thích chặt chẽ cho đẳng thức nổi tiếng 0,999… = 1: hai cách viết khác nhau của cùng một số. Trong game, đặt u₁ ≈ 0,9 và q ≈ 0,1 rồi cộng thêm số hạng, bạn sẽ thấy thanh tiến sát tới đúng giá trị 1.
Ứng dụng thực tế
Tổng cấp số nhân lùi vô hạn dùng để:
- 🔢 Đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn thành phân số (0,999… = 1).
- 💊 Tính lượng thuốc tích lũy sau nhiều liều đều đặn.
- 📐 Tính diện tích, chu vi của hình fractal (bông tuyết Koch).
- 💵 Định giá dòng tiền vĩnh viễn giảm dần trong tài chính.