Tương giao đồ thị là gì?
Nghiệm của phương trình f(x) = m là các giá trị x làm hai vế bằng nhau. Nếu ta xem y = f(x) là một đồ thị và y = m là một đường thẳng nằm ngang, thì mỗi nghiệm ứng với một giao điểm của hai đường. Vậy số nghiệm = số giao điểm của đồ thị với đường ngang y = m.
Cách biện luận số nghiệm
- Vẽ đồ thị y = f(x) (ở đây là hàm bậc ba với hai cực trị).
- Trượt đường ngang y = m lên xuống theo giá trị m.
- Đếm giao điểm của đường ngang với đồ thị.
- Kết luận: số giao điểm chính là số nghiệm của f(x) = m.
Biện luận với hàm bậc ba
Gọi yCĐ là giá trị cực đại, yCT là giá trị cực tiểu của hàm bậc ba (yCT ≤ yCĐ). Khi đó: nếu m > yCĐ hoặc m < yCT thì f(x) = m có 1 nghiệm; nếu m = yCĐ hoặc m = yCT thì có 2 nghiệm (một nghiệm kép tại điểm cực trị); nếu yCT < m < yCĐ thì có 3 nghiệm. Đây chính là cách các bài toán biện luận số nghiệm theo tham số m được giải.
Ứng dụng thực tế
Ý tưởng tương giao được dùng khi:
- 🧩 Biện luận số nghiệm phương trình chứa tham số m.
- 📊 Tìm điều kiện để một phương trình có đúng k nghiệm.
- 💹 Xác định số điểm cân bằng của một mô hình theo mức m.
- 🔎 Giải phương trình bằng đồ thị khi khó giải bằng đại số.
Câu hỏi thường gặp
Số nghiệm của f(x)=m tìm bằng cách nào? Số nghiệm của phương trình f(x) = m bằng số giao điểm của đồ thị y = f(x) với đường thẳng nằm ngang y = m. Vẽ đồ thị rồi trượt đường ngang y = m lên xuống và đếm số lần nó cắt đồ thị là ra ngay số nghiệm.
Biện luận số nghiệm theo m với hàm bậc ba thế nào? Với hàm bậc ba có hai cực trị (giá trị cực đại yCĐ và cực tiểu yCT), phương trình f(x) = m có 1 nghiệm khi m > yCĐ hoặc m < yCT; có 2 nghiệm khi m = yCĐ hoặc m = yCT; và có 3 nghiệm khi yCT < m < yCĐ.