Vì sao mũ và logarit ở khắp nơi?
Rất nhiều hiện tượng thay đổi theo kiểu nhân lên (hoặc chia đi) một hệ số cố định sau mỗi bước — chứ không phải cộng thêm một lượng cố định. Đó chính là hàm mũ. Khi cần "đi ngược" từ kết quả để tìm số bước, hoặc để nén một dải giá trị rất rộng vào thang đo dễ đọc, ta dùng logarit — phép toán ngược của mũ.
Năm kịch bản trong game
- Lãi kép: vốn A, lãi suất r/kỳ → sau n kỳ có A(1+r)ⁿ.
- Tăng trưởng dân số: P₀·e^(rt) — mô hình tăng liên tục theo tỉ lệ r.
- Phân rã phóng xạ: M₀·(1/2)^(t/T), với T là chu kỳ bán rã.
- Độ pH: pH = −log₁₀[H⁺] — thang logarit cho nồng độ ion H⁺.
- Decibel: L = 10·log₁₀(I/I₀) — cường độ âm theo thang logarit.
Mũ tăng nhanh cỡ nào?
Với lãi đơn, mỗi kỳ chỉ cộng thêm một lượng cố định, đồ thị là đường thẳng. Với lãi kép, mỗi kỳ lại tính lãi trên cả gốc lẫn lãi đã có, nên đường cong A(1+r)ⁿ vống lên rất nhanh. Kéo r lớn hơn một chút, bạn sẽ thấy khoảng cách giữa hai đường ngày càng "há miệng".
Logarit để làm gì?
Muốn hỏi "bao lâu thì tiền gấp đôi?" hay "bao lâu chất phóng xạ còn 10%?", ta phải giải phương trình mũ — và công cụ là logarit: n = log(2)/log(1+r). Ngoài ra, logarit nén dải rộng: nồng độ H⁺ chênh nhau hàng triệu lần chỉ thành vài đơn vị pH, âm thanh chênh hàng tỉ lần chỉ thành vài chục decibel.
Ứng dụng thực tế
Mũ và logarit xuất hiện khi:
- 💰 Tính tiền tiết kiệm, khoản vay, đầu tư lãi kép.
- ☢️ Định tuổi cổ vật bằng cacbon-14 (phân rã phóng xạ).
- 🧪 Đo độ axit/bazơ (pH), độ mạnh động đất (Richter).
- 🦠 Mô hình lan truyền dịch bệnh, tăng trưởng vi khuẩn.