Phân tích một vectơ theo hai vectơ

Phân tích một vectơ là gì?

Phân tích (hay biểu diễn) một vectơ c theo hai vectơ a và b nghĩa là viết c thành một tổ hợp c = m·a + n·b, với m và n là hai số thực. Điều kiện cốt lõi là a và b không cùng phương. Khi đó cặp số (m, n) tồn tại và là duy nhất.

Các bước dựng hình

1. Đặt chung gốc cho a, b và c tại gốc tọa độ O.
2. Kẻ hai đường song song với a và với b, đi qua ngọn của c.
3. Được hình bình hành có đường chéo là c, hai cạnh nằm trên phương a và b.
4. Đọc hệ số: cạnh theo a dài gấp m lần a, cạnh theo b dài gấp n lần b.

Vì sao (m, n) duy nhất — ý tưởng cơ sở

Hai vectơ a, b không cùng phương tạo thành một cơ sở của mặt phẳng — giống như hai trục Ox, Oy nhưng có thể nghiêng. Mỗi điểm trong mặt phẳng có đúng một cặp tọa độ theo cơ sở đó, nên (m, n) là duy nhất. Nếu a và b cùng phương, chúng chỉ phủ được một đường thẳng, không đủ để tạo ra mọi vectơ của mặt phẳng.

Tìm m, n bằng tọa độ

Không cần dựng hình bằng tay, ta có thể giải hệ. Viết c = m·a + n·b theo tọa độ được hệ hai phương trình: m·a_x + n·b_x = c_x và m·a_y + n·b_y = c_y. Điều kiện a, b không cùng phương tương đương với định thức a_xb_y − a_yb_x ≠ 0, đúng bằng điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất. Đó chính là lí do "không cùng phương" luôn cho một cặp (m, n) duy nhất — game này giải hệ đó rồi vẽ hình bình hành tương ứng cho bạn.

Ứng dụng thực tế

Ý tưởng phân tích vectơ có mặt ở nhiều nơi:

• 📐 Tọa độ của vectơ chính là phân tích theo cơ sở i, j.
• 🧭 Phân tích lực thành hai thành phần theo hai phương cho trước.
• 🖥️ Đồ họa máy tính: đổi hệ tọa độ, biến đổi affine.
• 📊 Đại số tuyến tính: cơ sở, số chiều, tổ hợp tuyến tính.