Tích của vectơ với một số là gì?
Trong chương trình Toán lớp 10 — bộ sách Kết nối tri thức, tích của vectơ a⃗ (khác vectơ-không) với số thực k là một vectơ, kí hiệu k·a⃗, được xác định bởi hai yếu tố: độ dài |k·a⃗| = |k|·|a⃗| và hướng — cùng hướng với a⃗ nếu k > 0, ngược hướng với a⃗ nếu k < 0. Khi k = 0 (hoặc a⃗ là vectơ-không) thì k·a⃗ chính là vectơ-không 0⃗. Định nghĩa chỉ gói gọn trong hai dòng, nhưng nếu chỉ đọc chữ, học sinh rất dễ nhầm |k·a⃗| với k·|a⃗| — quên mất dấu giá trị tuyệt đối. Trò chơi phía trên sinh ra để bạn “sờ” được từng trường hợp.
Cách chơi: kéo k và quan sát
Trên lưới tọa độ là vectơ gốc a⃗ màu tím (mặc định a⃗ = (3; 1), độ dài |a⃗| = √10 ≈ 3,16) và vectơ k·a⃗ màu xanh lá vẽ từ cùng gốc O. Hãy thử lần lượt:
- Kéo thanh “Hệ số k” về phía dương: k·a⃗ giữ nguyên hướng của a⃗ và dài dần — tại k = 2 nó dài đúng gấp đôi, các vạch chia mỗi đoạn |a⃗| giúp bạn đếm được điều đó.
- Kéo k qua số 0: vectơ xanh co dần về một điểm — đó chính là vectơ-không 0⃗, không có hướng và độ dài bằng 0.
- Kéo k sang phần âm: k·a⃗ lập tức quay ngược 180°, nằm trên cùng giá với a⃗ nhưng chỉ về phía đối diện; độ dài vẫn bằng |k|·|a⃗| chứ không hề âm.
- Kéo thanh “Góc của a⃗” để xoay vectơ gốc theo mọi hướng, rồi bấm ▶ Quét k xem k chạy tự động từ −3 đến 3 — công thức bên dưới cập nhật từng khoảnh khắc.
Vì sao |k·a⃗| = |k|·|a⃗|?
Nhân một vectơ với k thực chất là phép co giãn: mọi điểm trên vectơ bị kéo giãn theo cùng tỉ lệ |k| tính từ gốc O. Vì độ dài chỉ đo “bao xa”, không đo “về phía nào”, nên phần dấu của k tách riêng ra để quyết định hướng, còn phần độ lớn |k| nhân thẳng vào độ dài. Đó là lý do tại k = −2, vectơ k·a⃗ dài đúng bằng tại k = 2 — hai vạch chia như nhau — chỉ khác chiều mũi tên.
Hệ quả quan trọng nhất của định nghĩa này là điều kiện cùng phương: vectơ b⃗ cùng phương với a⃗ (a⃗ ≠ 0⃗) khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho b⃗ = k·a⃗. Trong game, dù bạn kéo k đến đâu thì k·a⃗ vẫn luôn nằm trên đường thẳng chứa a⃗ — không bao giờ “lệch ra ngoài giá”. Chính tính chất này là chìa khóa để chứng minh ba điểm thẳng hàng: A, B, C thẳng hàng ⇔ AB⃗ = k·AC⃗.
Phép nhân vectơ với một số còn tuân theo các tính chất quen thuộc như phân phối: k(a⃗ + b⃗) = k·a⃗ + k·b⃗ và (h + k)a⃗ = h·a⃗ + k·a⃗, nhờ đó ta có thể “rút gọn, khai triển” các biểu thức vectơ y như biểu thức đại số — nền tảng của công thức trung điểm và trọng tâm.
Câu hỏi thường gặp
Tích của vectơ với một số là gì? Tích của vectơ a⃗ với số thực k là một vectơ, kí hiệu k·a⃗, có độ dài |k·a⃗| = |k|·|a⃗|; k·a⃗ cùng hướng với a⃗ nếu k > 0, ngược hướng với a⃗ nếu k < 0, và là vectơ-không nếu k = 0 hoặc a⃗ là vectơ-không.
Khi nào hai vectơ cùng phương? Vectơ b⃗ cùng phương với vectơ a⃗ (a⃗ khác vectơ-không) khi và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho b⃗ = k·a⃗. Đây là điều kiện quan trọng để chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Ứng dụng thực tế
Phép nhân vectơ với một số xuất hiện ở mọi nơi có “độ lớn kèm hướng”:
- 🖥️ Đồ họa máy tính: phóng to, thu nhỏ hay lật ngược một hình chỉ là nhân mọi vectơ đỉnh của nó với k — k = 2 phóng gấp đôi, k = −1 lật qua gốc.
- 🧲 Vật lý: định luật II Newton F⃗ = m·a⃗ chính là tích của vectơ gia tốc với khối lượng m — lực luôn cùng hướng gia tốc vì m > 0.
- 🗺️ GPS và bản đồ: đi cùng hướng với vận tốc gấp đôi nghĩa là vectơ vận tốc bị nhân với k = 2; ước lượng vị trí sau t giờ chỉ là cộng thêm t·v⃗.
- ⚖️ Đòn bẩy và tỉ lệ mô hình: kiến trúc sư thu nhỏ tòa nhà theo tỉ lệ 1:100 bằng cách nhân mọi vectơ kích thước với k = 0,01 — hình dạng giữ nguyên, kích thước co lại.